半正多面體

前言

典例剖析

例1 【2019年高考數學試卷理科新課標Ⅱ第16題】中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一。印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”，半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體體現了數學的對稱美，圖2是一個棱數為\(48\)的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為\(1\)，則該半正多面體共有__________個面，其棱長為_____________。

分析：半正多面體的制作過程，如下圖所示；

解析：如果我們將其看成是三層的，則每一層都有\(8\)個面，再外加上下兩個面，故共有\(3\times 8+2=26\)個面。

如圖所示，設棱長為\(x\)，即\(MN=NE=x\)，由\(\triangle EHN\)為等腰直角三角形，

由\(NE=x\)，則可知\(NH=\cfrac{\sqrt{2}}{2}x\)，又\(MN+2NH=1\)，

則\(x+2\times \cfrac{\sqrt{2}}{2}x=1\)，即\((\sqrt{2}+1)x=1\)，解得\(x=\sqrt{2}-1\).

綜上可知，此半正多面體共有\(26\)個面，棱長為\(\sqrt{2}-1\)。

【解后反思】

1、求其表面積；

2、求其體積；

3、求其內切球的半徑；

分析：由這個動畫可以看出，該半正多面體沒有內切球。

4、求其外接球的半徑；

外接球的半徑可以借助下圖來求解。

5、古典概型中的幾何體計數