半正多面体

前言

典例剖析

例1 【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第16题】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一。印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”，半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美，图2是一个棱数为\(48\)的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为\(1\)，则该半正多面体共有__________个面，其棱长为_____________。

分析：半正多面体的制作过程，如下图所示；

解析：如果我们将其看成是三层的，则每一层都有\(8\)个面，再外加上下两个面，故共有\(3\times 8+2=26\)个面。

如图所示，设棱长为\(x\)，即\(MN=NE=x\)，由\(\triangle EHN\)为等腰直角三角形，

由\(NE=x\)，则可知\(NH=\cfrac{\sqrt{2}}{2}x\)，又\(MN+2NH=1\)，

则\(x+2\times \cfrac{\sqrt{2}}{2}x=1\)，即\((\sqrt{2}+1)x=1\)，解得\(x=\sqrt{2}-1\).

综上可知，此半正多面体共有\(26\)个面，棱长为\(\sqrt{2}-1\)。

【解后反思】

1、求其表面积；

2、求其体积；

3、求其内切球的半径；

分析：由这个动画可以看出，该半正多面体没有内切球。

4、求其外接球的半径；

外接球的半径可以借助下图来求解。

5、古典概型中的几何体计数