競賽與自招公眾號：今天上午，進行了清華大學的自主招生筆試。考試時間是90分鍾，采用的是機考的形式，總共35個不定項選擇題。在考試結束后，我們根據考生的回憶，將此次的部分試題整理出來，並推送給大家。后期若有增加，會陸續推送。由於考生的回憶可能會有一些錯誤，還請大家幫忙指正，謝謝。
1.一個四面體棱長分別為$6,6,6,6,6,9$,求外接球的半徑.
2.求值: $\int_{-1}^1\left(1-\sin^2x\right)x^2dx$.
3.已知$P$為單位圓上一動點, $A(0,2),B(0,-1)$,求$|AP|\cdot |BP|^2$的最大值.
4. $AB$為圓$O$直徑, $CO\perp AB$, $M$為$AC$中點, $CH\perp MB$,則下列選項正確的是
A. $AM=2OH$ B. $AH=2OH$ C. $\triangle BOH\sim \triangle BMA$ D.忘了
5. $A=\{1,2,3,\cdots,15\},B=\{1,2,3,4,5\}$, $f$是$A$到$B$的映射,若滿足$f(x)=f(y)$,則稱有序數對$(x,y)$為“好對”,求“好對”的個數最小值.
6.若對任意$c\in\mathbb{R}$,存在$a,b$,使得$\frac{f(a)-f(b)}{a-b}=f'(c)$成立,則稱函數$f(x)$滿足性質$T$,下列函數不滿足性質$T$的是
A. $f(x)=x^3-3x^2+3x$ B. $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$ C. $f(x)=e^{x+1}$ D. $f(x)=\sin (2x+1)$
7.已知$|\vec{a}|=|\vec{b}|=1, \vec{a} \cdot \vec{b}=\frac{1}{2},(\vec{c}-\vec{a}) \cdot(\vec{c}-\vec{b})=0$,若$|\vec{d}-\vec{c}|=1$,求$|\vec{d}|$的最大值.
8.橢圓$\frac{x^2}6+\frac{y^2}2=1$,過$F(2,0)$的直線交橢圓於$A,B$兩點,點$C$在直線$x=3$上,若$\triangle ABC$為正三角形,求$\triangle ABC$的面積.
9.圓$x^2+y^2=4$上一點$(x_0,y_0)$處的切線交拋物線$y^2=8x$於$A,B$兩點,且滿足$\angle AOB=90^\circ$,其中$O$為坐標原點,求$x_0$.
10. $a=4444^{4444}$, $b$是$a$的各位數字之和, $c$為$b$的各位數字之和,求$c$的值.
11.實數$x,y$滿足$x^2+(y-2)^2\leq 1$,求$\frac{x+\sqrt{3} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$的最大值和最小值.
\[\sum_{k=1}^{n} k^{2} 2^{k}=\left(n^{2}-2 n+3\right) 2^{n+1}-6.\]
設$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{6} \in\left[\frac{1}{\sqrt{3}}, \sqrt{3}\right]$,求證: $\sum_{i=1}^{6} \frac{a_{i}-a_{i+1}}{a_{i+1}+a_{i+2}} \geq 0$.
清華飛測（6.1）
1.給定$\odot O$及內部兩點$A,B$,求滿足$P$在$\odot O$上,且$OP$平分$\angle APB$的$P$點個數最大值.（此處約定若$O$在射線$AB$上, $P$在$AB$上,也稱$OP$平分$\angle APB$）
2.設$x_i\,(1\leq i\leq n)$是$(0,1)$之間兩兩不同的數,記$[x]$為不超過$x$的最大整數, $\{x\}=x-[x]$.求\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\{x_i-x_j\}^k(k\in\mathbb{N}^\ast)\]的最小可能值.
3.設$f(x,y,z)=\sum_{i,j,k}c_{ijk}x^iy^jz^k$,設$d=\max\{i+j+k\}$.給定有限集合$A$,定義集合\[S=\{(x,y,z)|f(x,y,z)=0,x,y,z\in A\}.\]求證$S\leq d\cdot |A|^2$.
4.設$A_1,A_2,\cdots,A_n$是有限集$X$的$n$個子集（非空）.設$b_k$是集合\[\{x|x\in X,x\in A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap\cdots \cap A_{i_k},1\leq i_1<i_2<\cdots<i_k\leq n\}\]的元素個數.求證:\[\prod_{i=1}^nb_i\leq\prod_{i=1}^n |A_i|.\]
設N=4444^4444的各位數字之和為A,A的各位數字之和為B,B的各位數字之和為C,求C。
lgN=4444lg4444<4444*4=17776， 所以 A<17776*9=159984， B<1+9*5=46， C<4+9=13， N、A、B、C 被9除的余數相等， 且 N≡(4446-2)^4444≡2^4444 ≡8^4443*2≡-2≡7(mod 9)， 所以 C=7 。 追答 倒數第二行錯了，應是 8^1481*2≡-2≡7
浙大自主招生試題
1.已知$\alpha=\frac{\pi}{7}$,求$\cos \alpha-\cos 2 \alpha+\cos 3 \alpha$.
2.已知$S=\{1,2,3,4\}$,若$\left|a_{1}-a_{3}\right|+\left|a_{2}-a_{4}\right|$的平均數為最簡分數$\frac{q}{p}$,其中$a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} \in S$,則$p+q$的值為
3.動圓過定點$(a,0)$,且圓心到$y$軸的距離為$2a$,則圓心軌跡是（ ）
A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.無法確定
4.已知$a_{0}=1, a_{1}=1, a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$,則$\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{1}{a_ia_{i+2}}=$______
5.一枚質地均勻的硬幣,扔硬幣$10$次,正面朝上次數多的概率為________
6.一枚質地均勻的硬幣,甲扔硬幣$2019$次,乙扔硬幣$2018$次,則甲正面朝上次數比乙正面朝上的次數多的概率為________
7.已知$x^2+y^2+z^2=1$,求$\sqrt{3}xy+yz$的最小值.
8.已知$P(n)$為關於$n$的整系數多項式,若$P(0)$和$P(1)$均為奇數,則( )
A. $P(n)$無整數根 B. $P(n)$可能有負整數根 C. $P(n)$無解 D.忘了
9. $3.\overline{abc}$是所有三位小數中最接近$\sqrt{11}$的數,求$a+b+c$的值.
10.已知$n\in\mathbb{N}^\ast$,下列說法正確的是( )
A. 若$n\neq 3k,k\in\mathbb{N}$,則$7\mid 2^n-1$ B. 若$n= 3k,k\in\mathbb{N}$,則$7\mid 2^n-1$
C. 若$n\neq 3k,k\in\mathbb{N}$,則$7\mid 2^n+1$ D. 若$n= 3k,k\in\mathbb{N}$,則$7\mid 2^n+1$
11.復數$|z_{1}|=| z_{2}|=1\,\left(z_{1} \neq z_{2}\right)$,滿足$\left|z_{k}+1+i\right|+\left|z_{k}-1-i\right|=2 \sqrt{3}\,(k=1,2)$,求$z_1z_2$.
12.若$x>1$,且滿足$x^2+\frac{1}{x^2}=3$,求$x^5-\frac{1}{x^5}$.
12.已知點$(a,b)$在橢圓$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$上,求$2a+3b+4$的最大值和最小值之和.
13.若將$19$表示為若干個正整數的和,則這些正整數的積的最大值為______
14.數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1,S_{n+1}=4a_n+3$,求$a_{2019}-2a_{2018}$的值.
15.定義在$\mathbb{R}$上的偶函數$f(x)$滿足$f(x+1)=\frac{1}{2}+\sqrt{f(x)-f^{2}(x)}$,求$f\left(\frac{121}{2}\right)$.
16.若$p,q$是方程$x^2+6x+5a-a^2=0$的兩根,且滿足$q+8p=p^3$,則$a$的可能取值有多少個?
17. $\triangle ABC$的頂點為$A(-p,0),B(p,0)$,其內心在直線$x=q$上,且$p>q>0$,則頂點$C$的軌跡方程為_____