由n*n個數字所組成的n階方陣，若具有各對角線、各橫列與縱行的數字和都相等的性質，則稱為魔方陣。這個相等的和稱為魔術數字。若填入的數字是從1到n*n，稱此種魔方陣為n階正規魔方陣。
如下所示為一個3階魔方陣和一個四階魔方陣。
魔方陣的構建方法很多，一般將n分為三類，這三類n構成的魔方陣的算法各不相同。
（1）當n為奇數，即n=2*k+1時，常采用簡捷連續填數法。
（2）當n為單偶數（n是偶數，但又不能被4整除），即n=4*k+2時，常采用井字調整法。
（3）當n為雙偶數（n能被4整除），即n=4*k時，常采用雙向翻轉法。
- 構造奇數階魔方陣
奇數階魔方陣的構造方法為：
首先把1放到頂行的正中間，然后把后繼數按順序放置在右上斜的對角線上，並作如下修改：
（1）當到達頂行時，下一個數放到底行，好像它在頂行的上面；
（2）當到達最右端列時，下一個數放在最左端列，好像它緊靠在右端列的右方；
（3）當到達的位置已經填好數時，或到達右上角的位置時，下一個數就放在剛填寫數的位置的正下方。
下面以構造一個3階魔方陣為例，說明這種方法的構造過程，具體如圖1所示。
圖1 簡捷連續填數法構造3階魔方陣
- 編程思路
程序中定義一個二維數組a[N][N]來保存方陣，初始時，數組中所有元素均置0。
用變量row和col來存儲待填數字num在方陣中的位置，由於第1個數字放在頂行的正中間，因此初始時，行row=0，列col=n/2，待填寫數字num=1。
采用簡捷連續填數法構造方陣的過程是一個循環程序，描述為：
While (待填寫數字num<=n*n)
{
確定待填寫數字num應該填寫的位置row和col；
填寫num，即a[row][col]=num;
Num++； // 下一個待填寫的數字
}
程序中，確定待填寫位置的方法是：
（1）后繼數按順序放置在右上斜的對角線上，即row--； col++；
（2）有三種情形需要調整。
當到達頂行時（即row<0）， row=n-1;
當到達最右端列時（即col==n）， col=0;
當到達的位置已經填好數時（即(a[row][col]!=0)， row+=2; col--;
（3）有一種情況，當到達右上角的位置時（row==0 && col==n-1），直接進行特殊處理，row++ 。
- 源程序及運行結果
#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;
int main()
{
int a[9][9],row,col,num,n;
cin>>n;
for (row=0;row<n;row++) // 初始化，數組中所有元素均置0
for (col=0;col<n;col++)
a[row][col]=0;
row=0; col=n/2; num=1;
a[row][col]=num;
while (num<n*n)
{
num++;
if (row==0 && col==n-1) // 到達右上角的位置
row++;
else
{
row--; col++;
if (row<0) row=n-1;
if (col==n) col=0;
if (a[row][col]!=0)
{ row+=2; col--; }
}
a[row][col]=num;
}
for (row=0;row<n;row++)
{
for (col=0;col<n;col++)
cout<<setw(4)<<a[row][col]<<" ";
cout<<endl;
}
return 0;
}
- 構造雙偶數階魔方陣
當n為雙偶數，即n=4*k時，采用雙向翻轉法。雙向翻轉法構造魔方陣的步驟如下：
（1）將數字1到n*n按由左至右、由上到下的順序填入方陣中。
（2）將方陣中央部分半數的行中的所有數字左右翻轉。
（3）將方陣中央部分半數的列中的所有數字上下翻轉。
由於在構造的過程中需要進行兩次翻轉，因此稱為雙向翻轉法。下面以構造一個4階魔方陣為例，說明這種方法的構造過程，具體如圖2所示。
圖2 雙向翻轉法構造4階魔方陣
- 編程思路
程序中定義一個二維數組a[N][N]來保存方陣，構造時，依次進行三個二重循環。
（1）將數字1到n*n按由左至右、由上到下的順序填入方陣中
num=1;
for (row=0; row<n; row++)
for (col=0; col<n; col++)
a[row][col] = num++;
（2）將方陣中央部分半數的行中的所有數字左右翻轉
對於一個n=4*k階的雙偶數方陣，若按行分成四組的話，每組行號的范圍為0~k-1、k~2k-1、2k~3k-1、3k~4k-1，中間有2k行，中間行的行號從k~3k-1，由於k=n/4，所以中間行的行號從n/4~n*3/4-1。
對於每一行，將其中的所有數字左右翻轉，實際上就是將一個一維數組逆序排列。
因此，第2步的操作可以寫成如下的循環：
for (row=n/4; row<=n*3/4-1; row++)
for (col=0; col<n/2; col++)
{
temp = a[row][col];
a[row][col] = a[row][n-1-col];
a[row][n-1-col] = temp;
}
（3）將方陣中央部分半數的列中的所有數字上下翻轉。
第3步的操作類同於第2步的操作，只是將行列的關系顛倒了，可以寫成如下的循環：
for (col=n/4; col<=n*3/4-1; col++)
for (row=0; row<n/2; row++)
{
temp = a[row][col];
a[row][col] = a[n-1-row][col];
a[n-1-row][col] = temp;
}
- 源程序及運行結果
#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;
#define SIZE 20
int prove(int a[][SIZE],int n);
int main()
{
int a[SIZE][SIZE],row,col,num,n,temp;
cin>>n;
num=1;
for (row=0; row<n; row++)
for (col=0; col<n; col++)
a[row][col] = num++;
for (row=n/4; row<=n*3/4-1; row++)
for (col=0; col<n/2; col++)
{
temp = a[row][col];
a[row][col] = a[row][n-1-col];
a[row][n-1-col] = temp;
}
for (col=n/4; col<=n*3/4-1; col++)
for (row=0; row<n/2; row++)
{
temp = a[row][col];
a[row][col] = a[n-1-row][col];
a[n-1-row][col] = temp;
}
for(row=0;row<n;row++)
{
for(col=0;col<n;col++)
cout<<setw(4)<<a[row][col]<<" ";
cout<<endl;
}
return 0;
}
- 構造單偶數階魔方陣
當n為單偶數，即n=4*k+2（6、10、14、18、22、26、30…）時，采用井字調整法。井字調整法構造魔方陣的步驟如下：
（1）將數字1到n*n按由左至右、由上到下的順序填入方陣中，然后在第k + 1、3 k + 2 行及列做井字標記。
（2）將井字兩邊長方形中的數字和其對稱位置的數字交換。注：坐標( x, y) 的對稱位置為 ( n + 1 – x，n + 1 - y )。
（3）將井字分隔線的兩橫行及第k + 2行兩側的數字左右對調，兩橫行中央的數字上下對調。左邊縱列的數字除交叉點外垂直翻轉。
（4）將井字分隔線的兩縱列中央的數字除第 2k+1行外左右對調，兩橫行左方的第一個數字上下對調，上橫行中央的數字水平翻轉。
在構造單偶數階魔方陣的過程中，為了便於識別，構造時在方陣中有井字形的縱橫線標記，因此稱為井字調整法。
圖3所示為一個6（4*1+2，k=1）階魔方陣的構造過程，具體步驟如下：
（1）先將數字1~36順序填入方陣，然后在第 2（1+1）、5（3*1+2） 列及第 2、5 行做上井字形標記，如圖3（1）所示。
（2）將井字兩邊長方形中的數字與其對稱位置的數字交換，如圖3（2）所示，圖中交換的數字用黑框標出。
（3）將第 2、3、5行兩側的數字左右對調，第 2、5行中央的數字上下對調，第 2列的數字除交叉點外進行垂直翻轉，如圖3（3）所示，圖中交換的數字依次用波浪線框、單線框和黑框標出。
（4）第 2、5列中央的數字（第3行中的數字除外）左右對調，第 2行中央的數字水平翻轉，第 2、5行左邊的第一個數字上下對調，如圖3（4）所示，圖中交換的數字依次用波浪線框、單線框和黑框標出。
圖3 井字調整法構造6階魔方陣
- 編程思路
為構造單偶數階魔方陣，在將數字1到n*n按由左至右、由上到下的順序填入方陣后，需要進行三大步的調整。
（1）井字兩邊長方形中的數字與其對稱位置的數字交換
井字兩邊的長方形共四塊，其中上下兩塊互為對稱，需要進行互換；左右兩塊互為對稱，也需要進行互換。因此，只需考慮上面和左邊的兩塊的操作方法即可。
上面一塊長方形的行號范圍為0~k-1（注意：程序中數組下標從0開始，而前面算法描述中，井字標記的行號從1開始），列號范圍為k+1~3k，對於這塊長方形區域中的任一格子（row，col），其對稱位置為（n-1-row，n-1-col），因此，上下數字互換可以寫成一個循環。
k=(n-2)/4;
for (row=0; row<=k-1;row++)
for (col=k+1; col<=3*k; col++)
a[row][col] 和a[n-1-row][n-1-col]交換;
同理，左邊一塊長方形的行號范圍為k+1~3k，列號范圍為0~k-1，對於這塊長方形區域中的任一格子（row，col），其對稱位置也為（n-1-row，n-1-col），因此，左右數字互換可以寫成一個循環。
k=(n-2)/4;
for (row= k+1; row<=3*k;row++)
for (col=0; col<= k-1; col++)
a[row][col] 和 a[n-1-row][n-1-col];
實際上，由於上面一塊長方形和左邊一塊長方形關於對角線對稱，即上面一塊長方形中格子的坐標（row,col）變換為（col,row）即為左邊長方形中相應格子的坐標，因此，上面的兩個循環可以合並為一個循環。
k=(n-2)/4;
for (row=0; row<=k-1;row++)
for (col=k+1; col<=3*k; col++)
{
a[row][col] 和a[n-1-row][n-1-col] 交換;
a[col][row] 和 a[n-1-col][n-1-row] 交換;
}
（2）第3步之井字分隔線的兩橫行及第k + 2行兩側的數字左右對調
由於是左右對調，因此考慮左邊的情況，列號范圍為0~k-1。操作可以寫成如下循環：
for (col=0; col<=k-1;col++)
{
a [k][col] 和 a [k][ n-1-col]交換; // 井字分隔線第k + 1
a [3*k+1][col] 和 a [3*k+1][ n-1-col]交換; // 井字分隔線第3k + 2
a [k+1][col] 和 a [k+1][ n-1-col]交換; // 第k + 2行
}
（3）第3步之井字分隔線的兩橫行中央的數字上下對調
井字分隔線的兩橫行中央區域的列號范圍為k+1~3k，數字上下互換可寫成一個循環。
for (col=k+1; col<=3*k ;col++)
a [k][col] 和 a [3*k+1][ col]交換;
（4）第3步之井字分隔線的左邊列除交叉點外的數字垂直翻轉
井字分隔線的左邊列的列號范圍為k，數字垂直翻轉就是逆序，但交叉點（行號為k）除外，因此可寫成一個循環。
for (row=0; row<n/2 ; row++)
if(row!=k) a [row][k] 和 a [n-1-row][k]交換;
（5）將井字分隔線的兩縱列中央的數字除第 2k+1行外左右對調，兩橫行左方的第一個數字上下對調，上橫行中央的數字水平翻轉。
井字分割線兩橫行左方的第一個數字上下對調可寫為：
a [k][0] 和 a [3*k+1][0]交換;
上橫行中央的數字水平翻轉可寫為：
for (col=k+1; col<n/2 ;col++)
a [k][col] 和 a [k][n-1- col]交換;
井字分隔線的兩縱列中央區域的行號范圍為k+1~3k，因此，井字分隔線的兩縱列中央的數字除第 2k+1行外左右對調可寫為：
for (row=k+1; row<=3*k ; row++)
if(row!=2*k) a [row][k] 和 a [row][3*k+1]交換;
（6）兩個數字交換寫成一個函數
由於在調整時，涉及到較多的數字交換，因此將其寫成一個函數，實現如下：
void swap(int *x,int *y)
{
int t;
t=*x; *x=*y; *y=t;
}
- 源程序及運行結果
#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;
#define SIZE 20
int prove(int a[][SIZE],int n);
void swap(int *x,int *y)
{
int t;
t=*x; *x=*y; *y=t;
}
int main()
{
int a[SIZE][SIZE],row,col,num,n,k;
cin>>n;
num=1;
for (row=0; row<n; row++)
for (col=0; col<n; col++)
a[row][col] = num++;
k=(n-2)/4;
for (row=0; row<=k-1;row++)
for (col=k+1; col<=3*k; col++)
{
swap(a[row][col],a[n-1-row][n-1-col]);
swap(a[col][row],a[n-1-col][n-1-row]);
}
for (col=0; col<=k-1;col++)
{
swap(a[k][col],a[k][n-1-col]); // 井字分隔線第k + 1
swap(a[3*k+1][col], a[3*k+1][n-1-col]); // 井字分隔線第3k + 2
swap(a[k+1][col], a[k+1][n-1-col]); // 第k + 2行
}
for (col=k+1; col<=3*k ;col++)
swap(a[k][col], a[3*k+1][col]);
for (row=0; row<n/2 ; row++)
if(row!=k) swap(a[row][k], a[n-1-row][k]);
swap(a[k][0], a[3*k+1][0]);
for (col=k+1; col<n/2 ;col++)
swap(a[k][col] , a[k][n-1-col]);
for (row=k+1; row<=3*k ; row++)
if(row!=2*k) swap(a[row][k] , a[row][3*k+1]);
for(row=0;row<n;row++)
{
for(col=0;col<n;col++)
cout<<setw(4)<<a[row][col]<<" ";
cout<<endl;
}
return 0;
}