有關幾何體中的最值

前言

典例剖析

例1 【2019屆高三理科數學第三輪模擬訓練題】已知某圓台如圖所示，它的上、下底面的直徑分別為\(2\)和\(4\)，母線長為\(2\)，\(A\)為一母線的中點，\(B\)為過點\(A\)的軸截面截得的另一條母線與底面的交點，則在圓台側面上從點\(A\)到點\(B\)的最短距離為【】

$A.4$ $B.5$ $C.6$ $D.7$

分析：由於上底面半徑為\(1\)，上底面的周長為\(2\pi\)，又由題可知上底面對應圓錐的母線長也為\(2\)，故圓錐展開圖為半圓，

將此圓台沿着過點\(A\)和\(B\)的軸截面切開，得到如右圖所示的平面圖，由平面內兩點間的距離中線段最短可知，從點\(A\)到點\(B\)的最短距離即線段\(AB\)的長；

連結\(AB\)，則在\(\triangle AOB\)中，\(OA=3\)，\(OB=4\)，則\(AB=5\)，故選\(B\)。

例2 【2019屆高三理科數學第三輪模擬訓練題】有一個長方體木塊，三個側面積分別為\(8\)，\(12\)，\(24\)，現將其削成一個正四面體模型，則該正四面體模型棱長的最大值為【】

$A.2$ $B.2\sqrt{2}$ $C.4$ $D.4\sqrt{2}$

分析：設長方體的長寬高分別為\(x\)，\(y\)，\(z\)，則由題可知有\(\left\{\begin{array}{l}{xy=8①}\\{yz=12②}\\{xz=24③}\end{array}\right.\)，三式相乘得到\(x^2y^2z^2=48^2④\)，

用④式分別除以①②③式，得到\(x=4\)，\(y=2\)，\(z=6\)，要想削成一個正四面體，

需要先取其最小棱的長度作為基礎，首先得到棱長為\(2\)的正方體，然后由正方體切削成正四面體，

此時正四面體的棱長為該正方體的面對角線，故正四面體的棱長的最大值為\(2\sqrt{2}\)。

例3 【2019屆高三理科數學第三輪模擬訓練題】一個棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的最長棱的長度是【】

$A.2\sqrt{2}$ $B.3$ $C.4$ $D.\sqrt{7}$

分析：做出其直觀圖，如右圖所示，則最長棱為\(AC=2\sqrt{2}\)，故選\(A\).