幾何體的表面積和體積


前言

涉及公式

柱、錐、台和球的側面積和體積
  面積 體積
圓柱 $S_{側}=2\pi rh$ $V=Sh=\pi r^2h$
圓錐 $S_{側}=\pi r l$ $V=\cfrac{1}{3}Sh=\cfrac{1}{3}\pi r^2 h=\cfrac{1}{3}\pi r^2 \sqrt{l^2-r^2}$
圓台 $S_{側}=\pi(r_1+r_2)l$ $V=\cfrac{1}{3}(S_{上}+S_{下}+\sqrt{S_{上}S_{下}})h=\cfrac{1}{3}\pi(r_1^2+r_2^2+r_1r_2)h$
直棱柱 $S_{側}=Ch$ $V=Sh$
棱錐 $S_{側}=\cfrac{1}{2}Ch'$ $V=\cfrac{1}{3}Sh$
棱台 $S_{側}=\cfrac{1}{2}(C+C')h'$ $V=\cfrac{1}{3}(S_{上}+S_{下}+\sqrt{S_{上}S_{下}})h$
球體 $S_{側}=4\pi R^2$ $V=\cfrac{4}{3}\pi R^3$

技巧總結

常運用割補法,

典例剖析

例1 【2019屆高三理科數學第三輪模擬訓練題】已知\(AB\)為半徑為\(R\)的球\(O\)的一條直徑,過\(OB\)的中點\(M\)作垂直於\(AB\)的截面,若以此截面為底面,\(A\)為頂點的圓錐的體積為\(\cfrac{3\pi}{8}\),則球的表面積為__________。

分析:如圖所示,\(OA=R\)\(MD=r\),則\(AM=\cfrac{3R}{2}\)\(BM=\cfrac{R}{2}\)

由相交弦定理(垂徑定理)可知,\(r^2=\cfrac{3R}{2}\cdot \cfrac{R}{2}=\cfrac{3R^2}{4}\),圓錐的高\(h=AM=\cfrac{3R}{2}\)

\(V_{圓錐}=\cfrac{1}{3}\pi r^2 h=\cfrac{3\pi R^3}{8}=\cfrac{3\pi}{8}\),故\(R=1\),故\(S_{球}=4\pi R^2=4\pi\).

例2 【2017鳳翔中學第二次月考理科第15題】

已知三棱錐\(P-ABC\)滿足\(PA、PB、PC\)兩兩垂直,且\(PA=PB=PC=2\)\(Q\)是三棱錐\(P-ABC\)外接球上的一個動點,則點\(Q\)到平面\(ABC\)的距離的最大值是多少?

分析:我們可以將此三棱錐還原為正方體的一部分,補體並特殊化為為正方體的一個角,如圖所示,

且正方體有個外接球,那么點\(Q\)到平面\(ABC\)的距離的最大值即是正方體的體對角線的\(\cfrac{2}{3}\),而體對角線長為\(\sqrt{2^2+2^2+2^2}=2\sqrt{3}\),故所求值為\(\cfrac{4\sqrt{3}}{3}\)

例3 【2017鳳翔中學第三次月考理科第10題】已知球面上有\(A、B、C\)三點,如果\(|AB|=|BC|=|AC|=2\sqrt{3}\),且球心到平面\(ABC\)的距離為1,則該球的體積為多少?

分析:本題目關鍵是求球的半徑\(R\) ,如上例中的模型,已知的三點可以安放在圖中的點\(A'、B、C'\)處,但是要注意,

已知的平面\(ABC\)和模型中的平面\(A'BC'\)平行,不一定重合,此時求半徑問題就轉化為求正三棱錐的側棱的長問題了,

而且此時正三棱錐的底面邊長為\(2\sqrt{3}\),正三棱錐的高是1,高的垂足\(E\)是下底面的中心,

則其側棱\(OA\)\(OA=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\),故\(R=\sqrt{5}\)

故該球的體積\(V_球=\cfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot R^3=\cfrac{20\sqrt{5}}{3}\pi\)

例4 【2019屆高三理科數學二輪用題】在面積為4的正方形\(ABCD\)中,\(M\)是線段\(AB\)的中點,現將圖形沿\(MC\)\(MD\)折起,使線段\(MA\)\(MB\)重合,得到一個四面體\(A-CDM\),其中點\(B\)和點\(A\)重合,則該四面體外接球的表面積為_________。

分析:平面圖形如左圖,立體圖形如右圖所示,\(\angle MAC=\angle MAD=\cfrac{\pi}{2}\),下來的重點是如何將四面體放置在球體內部。

可以這樣來思考,將最特殊的面\(ACD\)放置在下底面,這樣方便來放置和下底面垂直的側棱,如下圖所示;

底面圓的圓心\(O'\)為下底面正三角形的重心,\(O\)為球心,則\(OA=OM=R\),由於\(\triangle ACD\)為等邊三角形,\(AC=2\),則\(CH=1\)\(AH=\sqrt{3}\),則\(AO'=\cfrac{2\sqrt{3}}{3}\),過點\(O\)\(OK\perp AM\)\(K\),則\(OK=AO'=\cfrac{2\sqrt{3}}{3}\),又\(AK=\cfrac{1}{2}AM=\cfrac{1}{2}\),在\(Rt\triangle AOK\)中,由勾股定理可知\(R^2=(\cfrac{2\sqrt{3}}{3})^2+(\cfrac{1}{2})^2=\cfrac{19}{12}\),故\(S_{球O}=4\pi R^2=\cfrac{19\pi}{3}\)

補充說明:如果想不清這一點,還可以想着將四面體補體成一個直三棱柱,如下圖的動圖所示,

解后反思:當一條側棱和下底面垂直時,常將三棱錐\(M-ACD\)補體成直三棱柱\(MC'D'-ACD\),這樣容易想清楚。

例4-1 【2019屆高三理科數學二輪用題】已知矩形\(ABCD\)\(AB=1\)\(AD=\sqrt{2}\)\(E\)是線段\(AD\)的中點,現分別沿\(BE\)\(CE\)\(\triangle ABE\)\(\triangle DCE\)翻折,使點\(A\)和點\(D\)重合,記為點\(P\),則四面體\(P-BCE\)的外接球的表面積為_________。

分析:有空整理;

例5 【2019屆高三理科數學第三輪模擬訓練題】三棱錐\(P-ABC\)中,\(\triangle ABC\)為等邊三角形,\(PA=\)\(PB\)\(=PC\)\(=3\)\(PA\perp PB\),則三棱錐\(P-ABC\)的外接球的表面積為__________。

分析:補體並特殊化為為正方體的一個角,如圖所示,

則體對角線長為\(3\sqrt{3}\),即\(R=\cfrac{3\sqrt{3}}{2}\),故\(S_{表}=4\pi R^2=27\pi\).

例6 【2019屆高三理科數學第三輪模擬訓練題】已知體積為\(\cfrac{9\sqrt{2}}{4}\)的三棱錐\(P-ABC\)的所有棱長都相等,則三棱錐\(P-ABC\)的外接球的表面積為【】

$A.\cfrac{27\pi}{2}$ $B.\cfrac{27\sqrt{6}\pi}{2}$ $C.\cfrac{27\pi}{8}$ $D.\cfrac{81\sqrt{6}\pi}{8}$

分析:如圖,設\(\triangle ABC\)的外接圓的圓心為\(E\),由於三棱錐\(P-ABC\)的所有棱長都相等,故三棱錐為正四面體,

設正四面體的棱長為\(AB=a\),由正四面體的體積為\(V=\cfrac{9\sqrt{2}}{4}\),可解得\(a=3\)

則其外接球的半徑為\(R=\cfrac{\sqrt{6}a}{4}=\cfrac{3\sqrt{6}}{4}\),詳解詳析 [1]

故三棱錐\(P-ABC\)的外接球的表面積為\(S=4\pi R^2=4\pi (\cfrac{\sqrt{6}3}{4})^2=\cfrac{27\pi}{2}\),故選\(A\)

例7 【2019屆高三理科數學第三輪模擬訓練題】魯班鎖時中國古代傳統的智力玩具,起源於中國古代建築中首創的榫卯結構。如圖所示,在沒有釘子和繩子的情況下,通過一種榫卯咬合的方式把三組木條(共六根木條,每根木條均可視為正四棱柱)垂直相交固定在一起,其上下、左右、前后完全對稱。現有一個魯班鎖,每一根木條的高為\(5\),底面正方形的邊長為\(2\),現將該魯班鎖放在一個球形容器中,則能容納該魯班鎖的最小球形容器的表面積為(容器壁厚度忽略不計)【】

$A.28\pi$ $B.33\pi$ $C.45\pi$ $D.120\pi$

分析:由於魯班鎖的上下、左右、前后完全對稱,故此問題等同於一個下底面的長為\(2\)寬為\(4\),高為\(5\)的長方體外接於球,如圖所示,

則外接球的直徑為長方體的體對角線,則其長為\(\sqrt{2^2+4^2+5^2}=3\sqrt{5}\),則\(R=\cfrac{3\sqrt{5}}{2}\)

故球體的表面積為\(4\pi R^2=45\pi\),故選\(C\).

例8 【2019屆高三理科數學三輪模擬試題】\(P\)為矩形\(ABCD\)所在平面外的一點,且\(PA\perp\)平面\(ABCD\),若\(PB=\sqrt{5}\)\(PD=\sqrt{10}\)\(BD=\sqrt{13}\),則\(P-ABCD\)的外接球面積是【】

$A.4\pi$ $B.12\pi$ $C.13\pi$ $D.14\pi$

分析:如圖所示,\(PA\)\(AB\)\(AD\)兩兩垂直,設\(AB=x\)\(AD=y\)\(AP=z\),則有

\(x^2+y^2=13\)\(y^2+z^2=10\)\(z^2+x^2=5\),則可知\(x^2+y^2+z^2=14\)

故將此三棱錐還原為長方體后,其體對角線\(d=\sqrt{14}\),則\(P-ABCD\)的外接球的半徑為\(r=\cfrac{\sqrt{14}}{2}\)

\(S_{球}=4\pi r^2=4\pi \cdot \cfrac{14}{4}=14\pi\),故選\(D\).

例9 【2019屆高三理科數學三輪模擬試題】直三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)的底面是直角三角形,側棱長等於底面三角形的斜邊長,若其外接球的體積為\(\cfrac{32\pi}{3}\),則該三棱柱體積的最大值為__________。

分析:設此三棱柱的底面直角三角形的直角邊分別為\(a\)\(b\),則棱柱的高\(h=\sqrt{a^2+b^2}\)

設直三棱柱的外接球的半徑為\(R\),則\(\cfrac{4}{3}\pi R^3=\cfrac{32\pi}{3}\),解得\(R=2\)

由於上下底面三角形的斜邊的中點的連線的中點為該三棱柱的外接球的球心,

\(\sqrt{2}h=2R=4\),則\(h=2\sqrt{2}\),所以\(a^2+b^2=h^2=8\geqslant 2ab\)

\(ab\leqslant 4\),當且僅當\(a=b=2\)時取到等號。

故三棱柱的體積\(V=Sh=\cfrac{1}{2}abh=\sqrt{2}ab\leq 4\sqrt{2}\)


  1. 詳解詳析鏈接 ↩︎


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