正則語言與有窮自動機

正則表達式的運算符

1、兩個語言L和M的並，記作L∪M，是只屬於L或屬於只屬於M，或者同時屬於二者的串的集合。這個運算符有時也記作L+M。

　  

2、語言L和M的連接是以下形成的串的集合：取L中任意一個串，與M中任意一個串連接起來。一般用圓點或者根本不用任何運算符來表示兩個語言的連接。

     

3、語言L的閉包（或星，或克林閉包），記作L*，表示用以下方式形成的串的集合：從L中取任意多個串，可能有重復（即可以多次選同一個串），把所有這些串連接起來。更形式化的說，L*是無窮的並U_i≥0Lⁱ，其中L⁰={ε}，L¹=L，對於i>1，L_i是i個L的連接。

    

正則語言

從RE到ε-NFA

對於正則語言：ε、Ø、a，對應的自動機依次如下

對於正則語言：R|S，對應的自動機如下

對於正則語言：R.S，對應的自動機如下

對於正則語言：R*，對應的自動機如下

 下面給出一個例子：

將RE轉換成ε-NFA后，可以按照下面的路徑將ε-NFA轉換成為DFA

RE→ε-NFA→NFA→DFA

從DFA到RE

可以通過狀態消除的方法將一個FA轉換成為RE，狀態消除的方法如下：

合並：

消除順序狀態：

消除循環狀態：

 

下面給出一個例子：

從NFA到正則文法

正則文法：

在前面的博客也有給出文法的定義，在這里，N是指非終止符號集，Σ是指終止符號集。

一個語言L能夠被NFA接受，當且僅當這個語言有一個正則文法。

從一個NFA構造出一個等價的正則文法：

下面給出一個例子：

證明一個語言是正則語言

如果能構造出一個接受該語言的有限狀態自動機，則是正則語言。

證明一個語言不是正則語言

如果語言L不滿足泵引理，則不是正則語言。

泵引理的定義，其中n是一個與語言L相關的常數。

也就是說，我們總能在離w的開始處不太遠的地方找到一個非空的串y，然后可以把它作為“泵”，也就是說，重復y任意多次，或者去掉它（k=0的情況），而所得到的結果串依然屬於L。

下面給出一個例子：

DFA的最小化 - 填表算法

算法步驟：

下面給出一個例子，將下面的DFA最小化：

第一步，畫一個表，然沿對角線畫一條線，將對角線以上的部分丟掉（這是因為一個完整的表是沿對角線對稱的），同時也要丟掉對角線上的部分，因為對任意的(q, q)，不可能有q屬於F並且q不屬於F。

第二步，將包含終止狀態的狀態對打上標記，如下

第三步，在狀態轉換圖中找出所有與終止狀態相鄰的狀態。依次檢查這些狀態，使用上述填表算法進行檢查，標記上符合要求的狀態對。檢查完畢后，再向外擴張，直到每個狀態對都被檢查過為止。

 

將所有等價的狀態進行合並，即可得到最小化的DFA：

正則語言的封閉性

判定性問題

• 給定一個字符串w和正則語言L，判斷w是否屬於L

• 給定一個正則語言L，判斷L是否為空

• 給定兩個正則語言L₁和L₂，判斷L₁是否等於L₂