KMP自動機

分類：字符串

內容：詳細版

前置知識

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• KMP

一些約定

• 字符集大小默認為m
• 模板字符串默認為s
• 文本字符串默認為t
• |s|指字符串s的長度
• 字符串下標默認從1開始

簡介

KMP自動機主要用於字符串的匹配問題，預處理復雜度為O(|s|*m)，可以以嚴格O(|t|)的復雜度進行字符串匹配（KMP為均攤O(|t|)），並且可以處理可持久化字符串匹配問題。

同時KMP自動機也是AC自動機（可以處理多個模板串的匹配）的基礎。

構造KMP自動機

KMP自動機與KMP的區別在於KMP自動機額外求出了 \(trans_{i,j}\) 表示在第i位置上往后匹配一個j字符會轉移到什么狀態（狀態在這里指已經成功匹配了多少個字符）。

在下文中，將用fail來代替KMP的next，nxt代替上面的trans。

普通地實現KMP自動機

假設我們處理到了第i個狀態並且前i-1個狀態已經完全處理好了，當前的fail也指向了正確的位置。

考慮每個nxt指向的狀態：

nxt[s[i + 1]]顯然指向i+1。

其余的nxt應當指向一直跳fail后第一個下一個字符能匹配的位置，即：

nxt[i][j] = i;
while(nxt[i][j] && s[nxt[i][j] + 1] != j) nxt[i][j] = fail[nxt[i][j]];
if(s[nxt[i][j] + 1] == j) nxt[i][j] = nxt[i][j] + 1;

但是這樣我們沒有用到之前求出來的nxt並且復雜度很高，所以我們需要找到一種能用到之前求好了的nxt來快速計算當前nxt的方法。

考慮nxt[fail[i]][j]，這個表示的是fail[i]這個狀態匹配一個j字符會轉移到什么狀態，即我們想在第i個狀態后接一個j字符，但是s[i + 1]不是這個字符，我們就在fail[i]這個狀態后面接着找並且找到了一個狀態可以轉移。

仔細分析一下這個東西就是我們要求的nxt[i][j]。

證明一下：由於nxt[fail[i]][j]要么是從nxt[fail[fail[i]]][j]轉移過來的，已經考慮過考慮跳多次fail，要么是直接在fail[i]后面接一個j字符，不需要跳多次fail，所以不用管跳多次fail，那么nxt[fail[i]][j]就是我們要求的nxt[i][j]了。

// 假設字符串長度為 n，字符集大小為 m
// nxt 一開始都是 0
fail[1] = 0;
nxt[0][s[1]] = 1;
for(int i = 1; i < n; i ++) {
    for(int j = 0; j <= m; j ++) {
        if(s[i + 1] == j) nxt[i][j] = i + 1;
    	else nxt[i][j] = nxt[fail[i]][j];
    }
}
for(int i = 0; i <= m; i ++)
   	nxt[n][i] = nxt[fail[n]][i];

這樣寫出來又長細節又多，一下沒搞好就錯了，最重要的是不好背，我們想辦法縮成單獨一個for循環。

好寫又好背的板子

首先我們處理第i個狀態時，我們可以先讓所有的nxt[i]都是nxt[fail[i]]，然后在第i+1個狀態再把nxt[i][s[i+1]]設為i+1，這樣我們就可以不用把第n個狀態單獨拿出來

然后我們可以發現在求nxt[i]的時候不需要用到之前的fail所以我們可以不記錄所有的fail值

for(int i = 1, fail = 0; i <= n; i ++) {
	fail = nxt[fail][s[i]]; // 注意這一行不能和下一行互換
	nxt[i - 1][s[i]] = i;
	for(int j = 0; j < m; j ++)
		nxt[i][j] = nxt[fail][j];
}

字符串匹配

構造完以后匹配就很簡單了，直接一直沿着nxt走就行了