聽說這東西有必要學習一下？
本文內容全部參考《淺談圖模型上的隨機游走問題》by 王修涵。
定義
給定一張有向簡單圖 \(G = (V,E)(V = \{v_1,v_2,\cdots,v_{|V|}\} )\)和起點 \(v_s\in V\) ，終點 \(v_t \in V\)，每條邊\(e = (v_x,v_y)\)有正權值\(w_e\)，滿足 ∀\(v_x \in V-\{v_t\},\sum_{(v_x,v_y)\in E} w(v_x,v_y) = 1\)，且對於任意點 \(v_x\) 都存在一條從 \(v_x\) 出發到達 \(v_t\) 的路徑。有一枚棋子從起點出發，每秒從當前所在點 \(v_x\) 以 \(w(v_x,v_y)\) 的概率選擇出邊 \((v_x,v_y)\) 並走向 \(v_y\) ，到達終點則停止，求期望花費時間。
思想
一般做法都是DP，根據圖和題目的性質設計不同的狀態來解決問題
網格圖
例題（CF963E Circles of Waiting）：有一枚棋子起始被放在平面直角坐標系的\((0,0)\)點。每秒棋子會隨機移動。假設它當前在\((x,y)\)，它下一秒有\(p_1\)的概率移動到\((x−1,y)\)，\(p_2\)的概率移動到\((x,y−1)\)，\(p_3\)的 概率移動到\((x+1,y)\)，\(p_4\) 的概率移動到\((x,y+ 1)\)。保證 \(p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 1\) 。求期望 經過多少時間它會移動到一個離原點的歐幾里得距離大於\(R\) 的位置。\(0≤R≤50, p_1, p_2, p_3, p_4 >0\) ，答案對\(10^9 + 7\)取模。
朴素做法
設\(f(i,j)\)表示\((i,j)\)移動到外面需要的期望時間，那么有
直接高斯消元，復雜度\(O(R^6)\)。
直接消元法
把點從左到右、從上到下標號，把方程也排個序。
考慮高斯消元的過程，發現消到\((i,j)\)時只有\((i,k),k>j\)和\((i+1,k),k\le j\)的方程有\(f(i,j)\)這個變量，所以只需要消\(O(R)\)個方程。
所以最終復雜度是\(O(R^4)\)。
主元法
把每一行第一個格子的\(f\)作為主元，從左往右推過去，得到最右邊關於主元的表達式。
當歐幾里得距離大於\(R\)時即可得到方程：\(f(i,j)=0\)，共\(O(R)\)個方程，直接高斯消元即可。
復雜度\(O(R^3)\)。
總結
設總點數為\(n\)。
從復雜度上看，直接消元法復雜度\(O(n^2)\)，主元法\(O(n\sqrt{n})\)。
精度上，據說直接消元法更優？
適用性來看：
- 網格圖中存在障礙/邊權為0時主元法會出現無法向右推的情況，需要再設一個主元，復雜度增加，但直接消元法復雜度不變。
- 轉移方程為\(f(i,j)=p_1f(i,j+1)+p_2f(i+1,j)+p_3(pre(i,j))+1\)，其中\(pre(i,j)=(x,y),x<i,y<j\)給定時直接消元法復雜度分析就是假的了，而主元法仍然可以使用。
- 求鄰接矩陣行列式（別問我這東西有啥用）時只能直接消元法。
稀疏圖
例題就是定義里的題，\(n,m\le 2000\)，答案模隨機質數。
考慮答案就是\(\sum_{t>0}P(T>t)\)，可以求出走\(i\)步還沒有走到終點的概率，然后求和。
設\(f_{i,u}\)表示走了\(i\)步，到了\(u\)，還沒有走到過終點的概率，那么有轉移方程：
顯然，轉移方程和\(i\)無關，所以可以寫成矩陣的形式：\(f_i=M\times f_{i-1}=f_0M^{i}\)。
考慮\(M\)的特征多項式\(p(\lambda)\)的次數不超過\(n\)，且\(p(M)=0\)，所以\(p\)就是\(M^i\)的線性遞推式。
\(M^i\)左乘一個\(f_0\)，線性遞推式不變，所以\(f\)的線性遞推式長度也不超過\(n\)。
所以\(P(T>t)=\sum_u f_{t,u}\)的遞推式長度也是\(O(n)\)的，可以預處理出前\(2n\)項，然后BM算法求出遞推式。設遞推式的生成函數為\(C(x)\)，\(a_t=P(T>t)\)的生成函數為\(A(x)\)。
那么可以得到：\(A=C\times A+A_0\)，其中\(A_0\)由前\(n\)項決定。
於是可以得到\(A=\frac{A_0}{1-C}\)，且易得答案就是\(x=1\)時\(A(x)\)的值，可以求出。由於模的是隨機質數，可以假設分母不為0。
一般圖
不會，咕咕咕……