遞歸算法之不用乘號的乘法——用位移實現乘法（dart語言實現）

　　前兩天突發奇想，寫一個乘法的實現，但不用乘號*。並測試一下性能如何。因此就有了下面的代碼：（本文主要目的是為了玩遞歸和位移，因此僅限自然數）

首先，標准乘法：

int commonMultiplication(int a, int b) => a * b;

第二，從數學的角度，乘法其實就是加法，只是加法的簡寫而已，因此 a * b 可以理解為 b 個 a 相加；故得出用加法代替的乘法。為了減少加法的次數，取 a, b 兩數的最小值進行循環：

int plusMultiplication(int a, int b) {
  var t = a > b ? b : a, r = 0;
  if (t == a) {
    a = b;
    b = t;
  }

  while (b-- > 0) r += a;
  return r;
}

最后，位移乘法。計算機進行位移操作的速度是非常快的，因此，如果能把乘法換算成位移操作的話，速度會不會更快？但是根據計算機二進制的特點，每次向左位移，相當於是乘了2的n次方，怎么辦？我們看看例子：

　　31 * 18

怎么用位移來實現呢？首先我們取小的數：18，進行拆解。拆解的算法是，任何一個自然數，在計算機中都可以用二進制表示，那么，任何一個自然數，也可以拆解為2的冪的和。比如 18 的二進制表示 為  10010，拆解成十進制，即為 18 = 16 + 2；那么上面可以拆解為：

　　31 * 18 = 31 * （16 + 2） = 31 * 16 + 31 * 2

此時即可換成位移的算法：

　　31 * 18 = 31 * （16 + 2） = 31 * 16 + 31 * 2 = 31 * 2^4 + 31 * 2^1 = (31 << 4) + (31 << 1)

是不是轉成了位移？這里要注意對乘數 18 的處理，位移的關鍵是找到乘數 b 如何拆解為 2 的冪，這里要遞歸拆解，以18為例，第一次的關鍵是找到16這個2的冪，然后用18 - 16，結果等於 2，繼續找2等於多少2的冪，直到差小於2為止。同時，考慮到a*b，在實際計算中即使小的乘數也很大的情況，采用類似二分搜索的方式，給定階數，從大的階數向小的階數遞歸。階數的設定可以參考計算機的位數，即32位還是64位。因此，計算一個數可以拆分出來的最大2的冪的代碼如下：

int _bitShift(int d, int order) {
  if (order == 0) return 0;
  var i = 0;
  for (var t = d; (t >>= order) > 0; d = t, t = d) i += order;
  return i + _bitShift(d, order >> 1);
}

位移乘法實現的代碼

int bitMultiplication(int a, int b, int order) {
  var t = a > b ? b : a, r = 0;
  if (t == a) {
    a = b;
    b = t;
  }

  for (var i = _bitShift(b, order); i > 0; i = _bitShift(b, order)) {
    r += a << i;
    b -= 1 << i;
  }

  return b == 1 ? r + a : r;
}

經過采用隨機大數進行多次循環測試，結果顯示，用加法實現的乘法速度最慢，最快的仍然是 普通乘法，即用乘號的乘法；位移乘法居中。看來底層的計算機指令還是對*乘法做了優化。

 

最后說明一下，本文純屬原創，沒有使用dart 自帶math包，尤其是在求一個數可以拆出來的最大的2的冪的數字時。否則直接用math包中的log函數即可得出結果，但這樣就起不到自己練習位運算和遞歸的目的了。