補碼一位乘法（Booth算法，C語言實現）

補碼一位乘法

• 首先了解下什么是補碼？

　　補碼概念的理解，需要先從“模”的概念開始。 我們可以把模理解為一個容器的容量。當超出這個 容量時，會自動溢出。如：我們最常見到的時鍾，其容量 是 12，過了 12 點之后，就會變為 1 點， 2 點……也就是 說，超過12的部分將被丟棄。那么，在這個例子當中，時鍾 的模就是12。模的概念可以幫助我們理解補碼的含義。

　　補碼的引出：假設現在時鍾的時針指向 4 點的位 置，要使其指向 3 點，可以怎么操作呢？很明顯，共有 2 種方法，順時針撥 11 格（+11），或逆時針撥 1 格（-1）。 （為了區分順時針和逆時針，我們用正數表示順時針方 向轉動的距離，負數表示逆時針方向轉動的距離） 從上面的例子，不難發現，+11 和-1 實現了同樣的 作用。主要原因是時鍾的模是 12，順時針旋轉代表加法 運算：4+11=15，而達到模的部分會自動溢出，即 15-12= 3，即到達 3 點的位置。逆時針旋轉代表減法運算：4-1= 3。在這個例子當中，+11和-1 是完全等價的。也就是說， 負數-1 可以用正數+11 代替，這樣就可以把減法運算改 為加法運算。也可以說：+11 就是-1 的補碼（模為 12 的 情況下）。

• 具體的補碼一位乘法（Booth算法）

　　Booth算法簡介

　　Ｂｏｏｔｈ算法也就是補碼１位乘的比較法。被乘數為［Ｘ］補，乘數為［Ｙ］補，［Ｐ］補為乘積，按執行順序得出每一步的部分積

　　［ Ｐ ０］ 補 ＝０， ［ Ｐ １］ 補 ＝｛［ Ｐ ０］ 補 ＋（ Ｙｎ ＋１－ Ｙｎ ）［ Ｘ ］ 補 ｝ ２－１， 
　　［ Ｐｎ ＋１］ 補 ＝｛［ Ｐｎ ］ 補 ＋（ Ｙ １－ Ｙ ０）［ Ｘ ］ 補 ｝＝［ Ｘ · Ｙ ］ 補 。 Ｂｏｏｔｈ算法的運算規則如下。

１）乘數的最低位為 Ｙｎ ，在其后再添加一位 Ｙｎ ＋１，其值為０。

２） Ｙｉ ＋１與 Ｙｉ 為相鄰２位，（ Ｙｉ ＋１－ Ｙｉ ）有“ ０”，“ １”和“－１” ３種情況。
　　① Ｙｉ ＋１－ Ｙｉ ＝０（ Ｙｉ ＋１ Ｙｉ ＝００或１１），部分積直接右移１位。
　　② Ｙｉ ＋１－ Ｙｉ ＝１（ Ｙｉ ＋１ Ｙｉ ＝１０），部分積加［ Ｘ ］ 補 ，右移１位。
　　③ Ｙｉ ＋１－ Ｙｉ ＝－１（ Ｙｉ ＋１ Ｙｉ ＝０１），部分積加 ［－ Ｘ ］ 補 ，右移１位。 ３）按以上執行 ｎ ＋１步，最后一步（ ｉ ＝ ｎ ＋１）不移動。

• 具體的算法可以看看這個鏈接https://www.cnblogs.com/xisheng/p/9260861.html
• 小啊鵬(木木大人)的C語言算法實現（修改版）

 

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdbool.h>
#include<stdlib.h>

#define M 12


char * Input_X(char a[]);//輸入函數X
char * Input_Y(char a[]);//輸入函數Y
_Bool BoolInput(char a[]);//判斷輸入是否合法
char * GetTrue_form(char a[],char code[]);//由真值求原碼
char * GetComplement(char a[],char b[]);//由原碼求補碼
char * GetComplementOperation(char a[]);//求補運算
char * Booth(char a[],char b[],char []);//補碼一位乘法（Booth算法）
char for_mean(char a);

int main()
{
	char flag='Y';
	while(1)
	{
	char X[M];//X的真值
	char Y[M];//Y的真值
	char X_Code[M];//X_原碼
	char Y_Code[M];//y_原碼
	char X_Complement_Code[M];//X_補碼
	char Y_Complement_Code[M];//Y_補碼
	char X_Y_Booth[M];//補碼一位乘法的結果

	
	char *X_Code_P;//X_原碼的指針
	char *Y_Code_P;//Y_原碼的指針
	char *X_Complement_Code_P;//X_補碼指針
	char *Y_Complement_Code_P;//X_補碼指針
	
	Input_X(X);
	Input_Y(Y);
	
	X_Code_P=GetTrue_form(X,X_Code);
	Y_Code_P=GetTrue_form(Y,Y_Code);
	X_Complement_Code_P=GetComplement(X_Code,X_Complement_Code);
	Y_Complement_Code_P=GetComplement(Y_Code,Y_Complement_Code);
	
	
	printf("X的原碼是：%s\n",GetTrue_form(X,X_Code));
	printf("Y的原碼是：%s\n",GetTrue_form(Y,Y_Code));
	printf("X的補碼是：%s\n",X_Complement_Code);
	printf("Y的補碼是：%s\n",Y_Complement_Code);
	printf("[XY]的真值是：%s\n",Booth(X_Complement_Code,Y_Complement_Code,X_Y_Booth));
	for_mean(flag);
	}
	return 0;
}
//循環函數
char for_mean(char a)
{
	char b[10];
	while(1){
	printf("是否需要繼續運算：（Y/N）");
	fflush(stdin);
	setbuf(stdin, NULL);
	scanf("%s",b);
	if(strlen(b)!=1)
	{
		printf("輸入錯誤!\n");		
		continue;
	}
	setbuf(stdin, NULL);
	a=b[0];
	if(a=='Y'||a=='y')
	{
		//printf("輸入的是%c\n",a);
		break;
	}
	if(a=='n'||a=='N')
	{
		//printf("輸入的是%c\n",a);
		printf("退出中，再見！\n");
		exit(0);
	}
	}
	return a;
}
//輸入函數X
char * Input_X(char a[])
{
	fflush(stdin);
	printf("請輸入你的二進制真值(被乘數)X=");
	scanf("%s",a);
	while(1)
	{
		if(BoolInput(a))
			break;
		scanf("%s",a);
	}
	printf("你輸入的二進制真值X是：%s\n",a);

	return a;
}
//輸入函數Y
char * Input_Y(char a[])
{
	fflush(stdin);
	printf("請輸入你的二進制真值(乘數)Y=");
	scanf("%s",a);
	while(1)
	{
		if(BoolInput(a))
			break;
		scanf("%s",a);
	}
	printf("你輸入的二進制真值Y是：%s\n",a);
	return a;
}

//判斷輸入是否合法
_Bool BoolInput(char a[])
{
	int count = 0;     //小數點出現的次數
	//判斷輸入位數是否合法
	if(strlen(a)>M-2 ||strlen(a)<3)
	{
		printf("對不起你輸入的長度不對啊！請重新輸入:");
		a=NULL;
		return false;
	}
	//判斷輸入的第一位是否正確！
	if(a[0]!='0'&&a[0]!='-')
	{
		printf("你輸入的第一位就錯了啊! 請重新輸入:");
		a=NULL;
		return false;
	}
	//判斷輸入為正數后的操作
	if(a[0]=='0')
	{
		if(a[1]!='.')
		{
		printf("零后面應該是小數點啊，兄弟！! 請重新輸入:");
		return false;
		}
	}
	//判斷輸入為負數后的操作
	if(a[0]=='-')
	{
		if(a[1]!='0'||a[2]!='.')
		{
		printf("負號后面應該接的零啊，老哥！! 請重新輸入:");
		return false;
		}
	}
	//判斷是否有除0，1，-以外的字符輸入
	for(int i=1;i<strlen(a);i++)
	{
		if(a[i]!='0'&&a[i]!='1'&&a[i]!='.')
		{
			printf("老哥你輸入的不是二進制的真值啊！請重新輸入:");
			a=NULL;
			return false;
		}
		if(a[i]=='.')
		{
			count++;
		}
	}
	//判斷輸入的小數點個數是否合法
	if(count>1)
	{
		printf("老哥你輸入的小數點有%d個，這多了啊！請重新輸入",count);
		a=NULL;
		return false;
	}
	return true;
}

//由真值求原碼
char * GetTrue_form(char a[],char code[])
{
	int flag=0;
	//如果真值是負數符號為置為1
	if(a[0]=='-')
	{
		code[0]='1';
		if(a[1]=='0')
		{
			for(int i=1;i<strlen(a);i++)
			{
				if(a[i]=='1')
					flag=1;
				code[i]=a[i+1];
				if(flag==0)
					code[strlen(a)]='0';
			}
			code[strlen(a)+1]='\0';
			return code;
		}
		//
		else
		{
			for(int i=1;i<strlen(a);i++)
			{
				code[i]=a[i];
			}
			code[strlen(a)+1]='\0';	
		}
		return code;
	}
	//反之置為0
	else
	{
		for(int i=0;i<strlen(a);i++)
		{
			code[i]=a[i];
			
		}
		code[strlen(a)]='\0';
	}
	return code;
}
//原碼轉化補碼
char * GetComplement(char a[],char b[])
{
	for(int i=0;i<strlen(a);i++)
	{
		b[i]=a[i];
	}
	b[strlen(a)+1]='\0';
	//正數的補碼就是原碼
	if(b[0]=='0')
	{
		return b;
	}
	//負數的補碼轉化
	if(b[0]=='1')
	{
		int j=0; //定位低位往高位遇到的第一個'1'.
		for(int i=strlen(b);i>1;i--)
		{
			if(b[i]=='1')
			{
				j=i;
				break;
			}
		}
		//具體的原碼轉補碼，低位往高位遇到的第一個'1'往前的取反，符號位不變！
		for(int i=1;i<j;i++)
		{
			if(b[i]=='1')
			{
				b[i]='0';
				continue;
			}
			if(b[i]=='0')
			{
				b[i]='1';
				continue;
			}
		}
		
	}
	return b;
}

//求補運算，將一個數（包括正數和負數）所有二進制位（包括符號位和數值位）取反，然后在最低位加上1。
char * GetComplementOperation(char a[])
{
	//取反
	for(int i=0;i<strlen(a);i++)
	{
		if(a[i]=='1')
		{
			a[i]='0';
			continue;
		}
		else if(a[i]=='0')
		{
			a[i]='1';
		}
	}
	//加1操作
	 //判斷最后一位是不是0如果是0則只在最后一位加1
	if(a[strlen(a)-1]=='0')
	{
		a[strlen(a)-1]='1';
		return a;
	}
	for(int i=strlen(a);i>0;i--)
	{
		if(a[i]=='1')
		{
			a[i]=='0';
			continue;
		}
		if(a[i]=='0')
		{
			a[i]=='1';
			break;
		}
	}
	return a;
}

//補碼一位乘法（Booth算法）
char * Booth(char a[],char b[],char d[])
{
	char c='0';//進位
	char b_Temp;//一位過程中需要的臨時變量
	char X_ComplementOperation[M];//[-X]補
	char a_Temp[M];
	//首先統一位數
	int X_i;//x補碼的長度
	int Y_i;//y補碼的長度
	int Length_Difference=0;//長度的差值
	X_i=strlen(a);
	Y_i=strlen(b);
	printf("x的位數%d和y的位數是：%d\n",X_i,Y_i);
	printf("X的補碼為：%s\n",a);
	printf("Y的補碼為：%s\n",b);
	if(X_i>Y_i)
	{
		printf("我比Y的位數大\n");
		Length_Difference=X_i-Y_i;
		for(int i=0;i<Length_Difference;i++)
		{
			b[Y_i+i]='0';
		}
		b[Y_i+Length_Difference]='\0';
	}
	if(X_i<Y_i)
	{
		printf("我比Y的位數小\n");
		Length_Difference=Y_i-X_i;
		for(int i=0;i<Length_Difference;i++)
		{
			a[X_i+i]='0';
		}
		a[Y_i+Length_Difference+1]='\0';
	}
	printf("\n");
	printf("統一符號位X的補碼變為：%s\n",a);
	printf("統一符號位Y的補碼變為：%s\n",b);
	printf("\n");
	//把X的補碼變為雙符號位的
	int X_Length=0;//X的長度
	int Y_Length=0;//Y的長度
	X_Length=strlen(a);
	Y_Length=strlen(b);
	
	char temp;
	temp=a[0];
	for(int i=strlen(a)-1;i>0;i--)
	{
		a[i+1]=a[i];
		if(a[i]=='.')
			break;
	}
	a[0]=temp;
	a[1]=temp;
	a[X_Length+1]='\0';
	
	printf("將X的補碼變為雙符號位：%s\n",a);
	stpcpy(a_Temp,a);
	//求[-X]補
	GetComplementOperation(a_Temp);
	for(int i=0;i<strlen(a_Temp);i++)
	{
		X_ComplementOperation[i]=a_Temp[i];
	}
	X_ComplementOperation[strlen(a_Temp)]='\0';
	printf("X求補是：%s\n",X_ComplementOperation);
	
	//對Y的最后一位補0操作
	
	b[Y_Length]='0';
	b[Y_Length+1]='\0';
	
	
	printf("對Y的補碼最低位加0后：%s\n",b);
	
	//具體的運算過程
	X_Length=strlen(a);
	Y_Length=strlen(b);
	char Cn;//高位
	char Cn_1;//地位
	char Register[X_Length+Y_Length];//寄存器數組
	
	//初始化寄存器數組
	for(int i=0;i<X_Length;i++)
	{
		if(a[i]=='.')
		{
			Register[i]='.';
			continue;
		}
		Register[i]='0';
	}
	for(int i=0;i<Y_Length;i++)
	{
		Register[i+X_Length]=b[i];
	}
	Register[X_Length+Y_Length]='\0';
	
	printf("寄存器初始的數據：%s",Register);
	
	//除去小數點Register
	for(int i=0;i<strlen(Register);i++)
	{
		if(Register[i]=='.')
		{
			for(int j=i;j<strlen(Register);j++)
			{
				Register[j]=Register[j+1];
			}
		}
	}
	printf("寄存器初始的數據：%s\n",Register);
	//除去小數點X_ComplementOperation
	for(int i=0;i<strlen(X_ComplementOperation);i++)
	{
		if(X_ComplementOperation[i]=='.')
		{
			for(int j=i;j<strlen(X_ComplementOperation);j++)
			{
				X_ComplementOperation[j]=X_ComplementOperation[j+1];
			}
		}
	}
	//除去小數點a
	for(int i=0;i<strlen(a);i++)
	{
		if(a[i]=='.')
		{
			for(int j=i;j<strlen(a);j++)
			{
				a[j]=a[j+1];
			}
		}
	}
	//開始進行比較
	char flag='D';
	for(int i=0;i<Y_Length-2;i++)
	{
		Cn=Register[strlen(Register)-2];
		Cn_1=Register[strlen(Register)-1];
		if(Cn=='0'&&Cn_1=='0')
			flag='A';
		if(Cn=='1'&&Cn_1=='1')
			flag='A';
		if(Cn=='0'&&Cn_1=='1')
			flag='B';
		if(Cn=='1'&&Cn_1=='0')
			flag='C';
		printf("操作數的高位是：%c低位是：%c\n",Cn,Cn_1);
		switch (flag)
		{
			//操作1：右移一位
			case 'A':
			{
				if(i<Y_Length-3)
				{
					for(int j=strlen(Register)-1;j>1;j--)
					{
						Register[j]=Register[j-1];
					}
					Register[1]=Register[0];
				}
				printf("移位操作后寄存器的數據：%s\n",Register);
				break;	
			}
			
			//操作2：加上X的補，並右移一位
			case 'B':
			{
				//加的操作
				//printf("a的值是：%s\n",a);
				
				for(int j=strlen(a)-1;j>=0;j--)
				{
					 //設置尾是否有進位數
					if(j==strlen(a)-1)
					{
						if(Register[j]=='1'&& a[j]=='1')
						{
							c='1';
							Register[j]='0';
							continue;
						}
						if(Register[j]=='1'&& a[j]=='0')
						{
							c='0';
							Register[j]='1';
							continue;
						}
						if(Register[j]=='0'&& a[j]=='1')
						{
							c='0';
							Register[j]='1';
							continue;
						}
					} 
					if(Register[j]=='1')
					{
						if(a[j]=='0' && c=='0')
						{
							continue;
						}
						else if(a[j]=='0' &&c=='1')
						{
							Register[j]='0';
							c='1';
							continue;
						}
						else if(a[j]=='1'&& c=='0')
						{
							Register[j]='0';
							c='1';
							continue;
						}
						else if(a[j]=='1'&& c=='1')
						{
							Register[j]='1';
							c='1';
							continue;
						}
					}
					if(Register[j]=='0')
					{
						if(a[j]=='0' && c=='0')
						{
							continue;
						}
						else if(a[j]=='0' &&c=='1')
						{
							Register[j]='1';
							c='0';
							continue;
						}
						else if(a[j]=='1'&& c=='0')
						{
							Register[j]='1';
							c='0';
							continue;
						}
						else if(a[j]=='1'&& c=='1')
						{
							Register[j]='0';
							c='1';
							continue;
						}
					}
				}
				
				//printf("未移位寄存器的數據：%s\n",Register);
				//移位的操作
				if(i<Y_Length-3)
				{
					for(int j=strlen(Register)-1;j>1;j--)
					{
						Register[j]=Register[j-1];
					}
					Register[1]=Register[0];
				}
				printf("B操作后寄存器的數據：%s\n",Register);
				break;	
			}
			
			//操作3：加上-X的補，並右移一位
			case 'C':
			{
				//加-x補碼的操作
				//printf("X_ComplementOperation的值是：%s",X_ComplementOperation);
				for(int j=strlen(X_ComplementOperation)-1;j>=0;j--)
				{
					 //設置尾是否有進位數
					if(j==strlen(a)-1)
					{
						if(Register[j]=='1'&& a[j]=='1')
						{
							c='1';
							Register[j]='0';
							continue;
						}
						if(Register[j]=='1'&& a[j]=='0')
						{
							c='0';
							Register[j]='1';
							continue;
						}
						if(Register[j]=='0'&& a[j]=='1')
						{
							c='0';
							Register[j]='1';
							continue;
						}
					} 
					
					//加
					if(Register[j]=='1')
					{
						if(X_ComplementOperation[j]=='0' && c=='0')
						{
							continue;
						}
						else if(X_ComplementOperation[j]=='0' &&c=='1')
						{
							Register[j]='0';
							c='1';
							continue;
						}
						else if(X_ComplementOperation[j]=='1'&& c=='0')
						{
							Register[j]='0';
							c='1';
							continue;
						}
						else if(X_ComplementOperation[j]=='1'&& c=='1')
						{
							Register[j]='1';
							c='1';
							continue;
						}
					}
					if(Register[j]=='0')
					{
						if(X_ComplementOperation[j]=='0' && c=='0')
						{
							continue;
						}
						else if(X_ComplementOperation[j]=='0' &&c=='1')
						{
							Register[j]='1';
							c='0';
							continue;
						}
						else if(X_ComplementOperation[j]=='1'&& c=='0')
						{
							Register[j]='1';
							c='0';
							continue;
						}
						else if(a[j]=='1'&& c=='1')
						{
							Register[j]='0';
							c='1';
							continue;
						}
					}
				}
				
				//printf("未移位是寄存器的數據：%s\n",Register);
				//移位的操作
				if(i<Y_Length-3)
				{
					for(int j=strlen(Register)-1;j>1;j--)
					{
						Register[j]=Register[j-1];
					}
					Register[1]=Register[0];
				}
				printf("C操作后寄存器的數據：%s\n",Register);
				break;	
			}
			default:
			{
				printf("對不起，出現無法解決的錯誤,程序將要退出！\n");
				exit(0);
			}
		}
	}
	printf("最后寄存器的數據：%s\n",Register);
	//轉化為補碼
	for(int i=0;i<strlen(Register)-2;i++)
	{
		d[i]=Register[i];
	}
	d[strlen(Register)-2]='\0';
	if(d[0]=='0')
	{
		d[1]='.';
	}
	if(d[0]=='1')
	{ 
		d[1]='.';
		d[strlen(Register)]='\0';
	}
	printf("[X*Y]補是：%s\n",d);
	//轉化為真值
	if(d[0]=='1')
	{
		d[0]='-';
		d[1]='0';
		for(int i=strlen(d);i>2;i--)
		{
			d[i]=d[i-1];
		}
		d[2]='.';
		d[strlen(Register)]='\0';
	}
	return d;
}

 

我也知道大家可能主要是需要算法的具體實現，因此代碼中注解較多。

這里我也歡迎大家交流，希望大家可以指出代碼里的錯誤和不足，謝謝！

參考文獻

 

[1]武濤,智洋,白麗珍.三種機器碼的聯系與剖析[J].大學教育,2017(04):18-19+22.

[2]王曉東,富坤,耿恆山,秘海曉,孫曉麗.在8位微程序控制的模型計算機中Booth算法的實現[J].河北科技大學學報,2012,33(05):443-447.

下面說下我的運行環境（在window VS中可能無法運行）：

操作系統：Ubuntu16

編譯器：gcc