素數判斷算法（基於python實現）

素數是只能被1與自身整除的數，根據定義，我們可以實現第一種算法。

算法一：

def isprime(n):
    if n < 2: return False
    for i in range(2,int(math.sqrt(n))+1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

 

任意一個合數都可分解為素數因子的乘積，觀察素數的分布可以發現：除 2,3 以外的素數必定分布在 6k (k為大於1的整數) 的兩側。6k % 6 == 0, (6k+2) % 2== 0,(6k+3) %3==0,(6k+4)%2==0,

所以2,3外的素數形式只能寫成  6k+1 或 6k-1的形式。據此，我們可以縮小因子范圍。

算法二：

def isprime(n):
	if n == 2 or n == 3:
		return True
	if n % 2 == 0 or n % 3 == 0:
		return False
	
	for k in range(6,int(math.sqrt(n)) + 2, 6):
		if n % (k-1) == 0 or n % (k+1) == 0:
			return False
	return True

　　

建立一個大小為n的數組，初始值置為真。從2開始設置步長(length)直至n的平方根，將length*i (i > 1) 的值置為False。這就是埃拉托斯特尼篩法的基本思想。適用於篩選小於n的所有素數，算法如下：

算法三：

def isprime(n):
    r = [[i,True] for i in range(1,n+1)]
    r[0] = [1,False]
    for i in range(1,int(math.sqrt(n))):
        j = i * 2 + 1
        while j < len(r):
            r[j] = [j+1,False]
            j += i + 1
    return r

 

費馬小定理: a^p-1 = 1 (mod p) ,其中gcd(p,a) = 1 且 p 為素數

p為素數時等式一定成立，但使等式成立的p不一定都是素數，但非素數p數量極少，稱之為偽素數。

任意大素數n可寫成 n = u * 2^t  + 1, 其中 t 為 大於1 的整數，u為奇數。a ^{n - 1} = (a^u)^{2^t}, 求出a^u 后，連續t次平方即可求得。

算法四：

def isprime_fourth(n):
    if n == 2: return True
    if n % 2 == 0: return False
    # 若n為大於2的素數,形式可寫成 n=u*(2^t) + 1, t >= 1 and u % 2 == 1
    t = 0
    u = n - 1
    while u % 2 == 0:
        t += 1
        u //= 2
    
    # 隨機選擇底數，若n為素數，gcd(a,n)==1
    a = random.randint(2,n-1)
    # 若n為素數，則a^(n-1) % n == 1；先計算 a^u % n，再連續t次平方可得
    r = pow(a,u,n)
    if r != 1:
        while t > 1 and r != n-1:
            r = (r*r) % n
            t -= 1
        if r != n - 1:
            return False
    return True