一、坐標轉換描述
坐標轉換是空間實體的位置描述，是從一種坐標系統變換到另一種坐標系統的過程。通過建立兩個坐標系統之間一一對應關系來實現。通常坐標轉換有平移、縮放、旋轉三個方面的轉換。本文只詳細講述關於旋轉部分的內容。
二、二維坐標旋轉
一個二維坐標系O-XY繞原點O旋轉$\varphi $后變為另一個坐標系O-X'Y'。假設有一點P在O-XY坐標系下的坐標為（x,y），經旋轉后在O-X'Y'坐標系下的坐標為（x',y'），則兩套坐標系下的坐標的對應關系為
$\left\{\begin{matrix} x^{'}=xcos\varphi-ysin\varphi\\y^{'}=xsin\varphi+ycos\varphi \end{matrix}\right.$
將其寫成矩陣形式為
$\begin{bmatrix}x^{'}\\ y^{'}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}cos\varphi & -sin\varphi\\ sin\varphi & cos\varphi \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}$
三、三維坐標旋轉
三維坐標轉換主要分為右手系（笛卡爾坐標系）和左手系（測量坐標系）兩種，其分別繞Z、Y、X順時針旋轉$\kappa,\omega,\varphi $角度。現在來看一看各軸旋轉后坐標的變化。
1、繞Z軸旋轉
右：$\begin{bmatrix}x^{'}\\ y^{'}\\ z^{'}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos\kappa&sin\kappa&0\\-sin\kappa&cos\kappa&0\\0&0&1\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\\ z\end{bmatrix}$ 左：$\begin{bmatrix}x^{'}\\ y^{'}\\ z^{'}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos\kappa & -sin\kappa & 0\\sin\kappa & cos\kappa & 0\\ 0 & 0 &1\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\\ z\end{bmatrix}$
2、繞Y軸旋轉
右：$\begin{bmatrix}x^{''}\\ y^{''}\\ z^{''}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos\omega &0&-sin\omega \\0&1&0\\sin\omega&0 &cos\omega \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x^{'}\\ y^{'}\\ z^{'}\end{bmatrix}$ 左：$\begin{bmatrix}x^{''}\\ y^{''}\\ z^{''}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos\omega &0&sin\omega \\0&1&0\\-sin\omega&0 &cos\omega\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x^{'}\\ y^{'}\\ z^{'}\end{bmatrix}$
3、繞X軸旋轉
右：$\begin{bmatrix}x^{'''}\\ y^{'''}\\ z^{'''}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & cos\varphi & sin\varphi\\0 & -sin\varphi & cos\varphi\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x^{''}\\ y^{''}\\ z^{''}\end{bmatrix}$左：$\begin{bmatrix}x^{'''}\\ y^{'''}\\ z^{'''}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & cos\varphi & -sin\varphi\\0 & sin\varphi & cos\varphi\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x^{''}\\ y^{''}\\ z^{''}\end{bmatrix}$
4、旋轉矩陣融合
將三軸的旋轉融合為一個旋轉矩陣R 。
右：$\begin{bmatrix}x^{'''}\\ y^{'''}\\ z^{'''}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & cos\varphi & sin\varphi\\0 & -sin\varphi & cos\varphi\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} cos\omega &0&-sin\omega \\0&1&0\\sin\omega&0 &cos\omega \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} cos\kappa&sin\kappa&0\\-sin\kappa&cos\kappa&0\\0&0&1\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\\ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}r_{11} & r_{12} & r_{13}\\ r_{21} & r_{22} & r_{23}\\ r_{31} & r_{32} & r_{33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\\ z\end{bmatrix}$
左：$\begin{bmatrix}x^{'''}\\ y^{'''}\\ z^{'''}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & cos\varphi & -sin\varphi\\0 & sin\varphi & cos\varphi\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} cos\omega &0&sin\omega \\0&1&0\\-sin\omega&0 &cos\omega\end{bmatrix}\begin{bmatrix} cos\kappa & -sin\kappa & 0\\sin\kappa & cos\kappa & 0\\ 0 & 0 &1\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\\ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}r_{11} & r_{12} & r_{13}\\ r_{21} & r_{22} & r_{23}\\ r_{31} & r_{32} & r_{33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\\ z\end{bmatrix}$
右手坐標系得旋轉矩陣R的各個元素為
$\left\{\begin{matrix}r_{11}=cos\omega cos\kappa &r_{12}=cos\omega sin\kappa &r_{13}=-sin\omega \\ r_{21}=-cos\varphi sin\kappa +sin\varphi sin\omega cos\kappa & r_{22}=cos\varphi cos\kappa +sin\varphi sin\omega sin\kappa &r_{23}=sin\varphi cos\omega \\ r_{31}=sin\varphi sin\kappa +cos\varphi sin\omega cos\kappa&r_{32}=-sin\varphi cos\kappa +cos\varphi sin\omega sin\kappa&r_{33}=cos\varphi cos\omega \end{matrix}\right.$
左手坐標系得旋轉矩陣R的各個元素為
$\left\{\begin{matrix}r_{11}=cos\omega cos\kappa &r_{12}=-cos\omega sin\kappa &r_{13}=sin\omega \\ r_{21}=cos\varphi sin\kappa +sin\varphi sin\omega cos\kappa & r_{22}=cos\varphi cos\kappa -sin\varphi sin\omega sin\kappa &r_{23}=-sin\varphi cos\omega \\ r_{31}=sin\varphi sin\kappa -cos\varphi sin\omega cos\kappa&r_{32}=sin\varphi cos\kappa +cos\varphi sin\omega sin\kappa&r_{33}=cos\varphi cos\omega \end{matrix}\right.$