學習博客：https://blog.csdn.net/m0_37286282/article/details/78869512
對容斥原理的描述
容斥原理是一種重要的組合數學方法，可以讓你求解任意大小的集合，或者計算復合事件的概率。
描述
容斥原理可以描述如下：
要計算幾個集合並集的大小，我們要先將所有單個集合的大小計算出來，然后減去所有兩個集合相交的部分，再加回所有三個集合相交的部分，再減去所有四個集合相交的部分，依此類推，一直計算到所有集合相交的部分。
關於集合的原理公式
上述描述的公式形式可以表示如下：
它可以寫得更簡潔一些，我們將B作為所有Ai的集合，那么容斥原理就變成了：
這個公式是由 De Moivre (Abraham de Moivre)提出的。
關於維恩圖的原理
用維恩圖來表示集合A、B和C：
那么
的面積就是集合A、B、C各自面積之和減去
, 
, 
的面積，再加上
的面積。
由此，我們也可以解決n個集合求並的問題。
關於概率論的原理
設事件
，
代表發生某些事件的概率（即發生其中至少一個事件的概率），則：
這個公式也可以用B代表Ai的集合：
容斥原理的證明
我們要證明下面的等式：
其中B代表全部Ai的集合
我們需要證明在Ai集合中的任意元素，都由右邊的算式被正好加上了一次（注意如果是不在Ai集合中的元素，是不會出現在右邊的算式中的）。
假設有一任意元素在k個Ai集合中（k>=1），我們來驗證這個元素正好被加了一次：
當size(C)=1時，元素x被加了k次。
當size(C)=2時，元素x被減了C(2,k)次，因為在k個集合中選擇2個，其中都包含x。
當size(C)=3時，元素x被加了C(3,k)次。
……
當size(C)=k時，元素x被加/減了C(k,k)次，符號由sign(-1)^(k-1)決定。
當size(C)>k時，元素x不被考慮。
然后我們來計算所有組合數的和。
由二項式定理，我們可以將它變成：
我們把x取為1，這時
表示1-T（其中T為x被加的總次數），所以
，證明完畢。
對於實際問題的應用
容斥原理的理論需要通過例子才能很好的理解。
首先，我們用三個簡單的例子來闡釋這個理論。然后會討論一些復雜問題，試看如何用容斥原理來解決它們。
其中的“尋找路徑數”是一個特殊的例子，它反映了容斥問題有時可以在多項式級復雜度內解決，不一定需要指數級。
一個簡單的排列問題
由0到9的數字組成排列，要求第一個數大於1，最后一個數小於8，一共有多少種排列？
我們可以來計算它的逆問題，即第一個元素<=1或者最后一個元素>=8的情況。
我們設第一個元素<=1時有X組排列，最后一個元素>=8時有Y組排列。那么通過容斥原理來解決就可以寫成：
經過簡單的組合運算，我們得到了結果：
然后被總的排列數10!減，就是最終的答案了。
（0,1,2）序列問題
長度為n的由數字0，1，2組成的序列，要求每個數字至少出現1次，這樣的序列有多少種？
同樣的，我們轉向它的逆問題。也就是不出現這些數字的序列 不出現其中某些數字的序列。
我們定義Ai(i=0…2)表示不出現數字i的序列數，那么由容斥原理，我們得到該逆問題的結果為：
可以發現每個Ai的值都為2^n（因為這些序列中只能包含兩種數字）。而所有的兩兩組合
都為1（它們只包含1種數字）。最后，三個集合的交集為0。（因為它不包含數字，所以不存在）
要記得我們解決的是它的逆問題，所以要用總數減掉，得到最終結果：
方程整數解問題
給出一個方程：
其中
。
求這個方程的整數解有多少組。
我們先不去理會xi<=8的條件，來考慮所有正整數解的情況。這個很容易用組合數來求解，我們要把20個元素分成6組，也就是添加5塊“夾板”，然后在25個位置中找5塊“夾板”的位置。
然后通過容斥原理來討論它的逆問題，也就是x>=9時的解。
我們定義Ak為xk>=9並且其他xi>=0時的集合，同樣我們用上面的添加“夾板”法來計算Ak的大小，因為有9個位置已經被xk所利用了，所以：
然后計算兩個這樣的集合Ak、Ap的交集：
因為所有x的和不能超過20，所以三個或三個以上這樣的集合時是不能同時出現的，它們的交集都為0。最后我們用總數剪掉用容斥原理所求逆問題的答案，就得到了最終結果：
求指定區間內與n互素的數的個數：
給出整數n和r。求區間[1;r]中與n互素的數的個數。
去解決它的逆問題，求不與n互素的數的個數。
考慮n的所有素因子pi(i=1…k)
在[1;r]中有多少數能被pi整除呢？它就是：
然而，如果我們單純將所有結果相加，會得到錯誤答案。有些數可能被統計多次（被好幾個素因子整除）。所以，我們要運用容斥原理來解決。
我們可以用2^k的算法求出所有的pi組合，然后計算每種組合的pi乘積，通過容斥原理來對結果進行加減處理。
關於此問題的最終實現：
#include<iostream> #include<vector> using namespace std; void solve(int n,int r) { vector<int> p; for(int i=2;i*i<=n;i++)//求n的所有質因子 { if(n%i==0) { p.push_back(i); while(n%i==0) { n/=i; } } } if(n>1) p.push_back(n); //容斥 // cout<<"*&"<<endl; int ans=0; int len=p.size(); // cout<<len<<" "<<endl; for(int i=1;i<(1<<len);i++)//二進制枚舉 { // cout<<"*"<<endl; int mul=1,cnt=0; for(int j=0;j<len;j++) { // cout<<"*"<<endl; if(i&(1<<j)) { cnt++; mul*=p[j]; } } int sum=r/mul; if(cnt&1) ans+=sum; else ans-=sum; } cout<<r-ans<<endl; } int main() { int n,r; cin>>n>>r; solve(n,r); return 0; }