歷屆試題 小數第n位

問題描述

　　我們知道，整數做除法時，有時得到有限小數，有時得到無限循環小數。
　　如果我們把有限小數的末尾加上無限多個0，它們就有了統一的形式。


　　本題的任務是：在上面的約定下，求整數除法小數點后的第n位開始的3位數。

輸入格式

　　一行三個整數：a b n，用空格分開。a是被除數，b是除數，n是所求的小數后位置（0<a,b,n<1000000000）

輸出格式

　　一行3位數字，表示：a除以b，小數后第n位開始的3位數字。

樣例輸入

1 8 1

樣例輸出

125

樣例輸入

1 8 3

樣例輸出

500

樣例輸入

282866 999000 6

樣例輸出

914

思路：我們以3/7舉例，下面是手寫的常規除法的計算過程。

 

比如n=4時，我們計算的是小數第四位，那么很明顯就是40除於7的值，所以我們只需要知道第四位小數對應的哪個被除數是誰就行，用變量sa表示被除數，則第一位小數就是sa/7,余數就是下一個小數對應的被除數，那么用余數更新sa，一次類推可以計算出所有的小數，注意上圖第一個被除數30如果在下面再次出現則容易知道接下來會重復計算，意味着產生循環節，所以我們可以通過循環節長度更新n，降低時間復雜度。

代碼

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main()
{
    int a,b,n;
    int sa;
    cin >> a >> b >> n;
    sa=a%b;//初始化sa,sa是求每次相除的余數 
    for(int i=1;i<=n;i++){
        sa=sa%b*10;//在本輪循環相除后余數發生改變 
        //cout << sa <<" "<<sa%b <<" "<<a%b << endl;
        if(sa%b==a%b){//如果下一次循環（注意sa%b是下一次循環的余數）的余數 等於初始的余數，說明接下來的循環或重復之前的計算 
            n%=i;//n縮小（這是降低時間復雜度的關鍵） ， 
            i=0;//重新開始遍歷 
        }
    }
    for(int i=1;i<=3;i++){
        cout << sa/b;//輸出該位置計算結果 ，注意如果是有限小數切sa=0時，接下來都是輸出0 
        sa=sa%b*10;//下一次計算的余數 
    }
    return 0;
}

 但是仔細一想上個代碼其實是不完全正確的，或不完美的，雖然可以通過測試系統，因為上個代碼默認循環節的第一個數字就是小數點后的第一個數字，但是很許多循環小數並非如此

這是第三個測試用例相除的結果，發現循環節是149，從第四個數字開始，如果我們要查詢結果數億之后的某個數的后三位，上個代碼明顯超時，所以需考慮循環節不在第一位的情況，

在上個代碼上修改如下

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t=1;
int array[10];
int compare(int m)//得到循環節開始的下標
{
    for(int i=1;i<t;i++){
        if(array[i]==m) return i;//此時第二個循環節的第一個數字遇到第一個循環節的第一個數字，返回第一個循環節開始的下標

    }
    return 0;
}
int main()
{
    int a,b,n;
    int sa;
    cin >> a >> b >> n;
    int m=0;//表示還沒遇到循環節
    int num=0;

     memset(array,0,sizeof(array));
    sa=a%b;//初始化sa,sa是求每次相除的余數
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(m==0 && i!=1) array[t++]=sa%b;
        if(m==0 && i==1) array[t++]=sa;
        sa=sa%b*10;//在本輪循環相除后余數發生改變
        if(m==0)
        {
            int aa=sa%b;
            num=compare(aa);
        //    cout << num << endl;
        }
        if(num!=0&&m!=1){
            n%=(i-num+1);
            n+=(num-1);
            i=0;
            m=1;
        }
        //if(nu)
    }
    for(int i=1;i<=3;i++){
        cout << sa/b;//輸出該位置計算結果 ，注意如果是有限小數切sa=0時，接下來都是輸出0
        sa=sa%b*10;//下一次計算的余數
    }
    return 0;
}

下面的小demo是計算循環節的，根據上個代碼衍生出來的

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t=1;
int array[100];
int compare(int m)//得到循環節開始的下標
{
    for(int i=1;i<t;i++){
        if(array[i]==m) return i;//此時第二個循環節的第一個數字遇到第一個循環節的第一個數字，返回第一個循環節開始的下標

    }
    return 0;
}
int main()
{
    //freopen("D:/Data.txt","r",stdin);
    int a,b;
    int sa;
    cin >> a >> b;
    int num=0;
    memset(array,0,sizeof(array));
    sa=a%b;
    for(int i=1;i<1000;i++){
        if(sa%b==0) {t=1000; break;}
        if(i!=1) array[t++]=sa%b;
        if(i==1) array[t++]=sa;
        sa=sa%b*10;
        int aa=sa%b;
        num=compare(aa);
        if(num!=0) break;

    }
    if(t==1000) cout << "不存在循環節" << endl;
     else{
           sa=a%b;
      for(int i=1;i<=t;i++){
        if(i>num) cout << sa/b;//輸出該位置計算結果 ，注意如果是有限小數切sa=0時，接下來都是輸出0
        sa=sa%b*10;//下一次計算的余數
    }
  }
    return 0;
}