困擾我N天的一題，今天終於解決了。話不多說，直接上題。
問題描述
斐波那契數列大家都非常熟悉。它的定義是：
f(x) = 1 .... (x=1,2)
f(x) = f(x-1) + f(x-2) .... (x>2)
對於給定的整數 n 和 m，我們希望求出：
f(1) + f(2) + ... + f(n) 的值。但這個值可能非常大，所以我們把它對 f(m) 取模。
公式如下
但這個數字依然很大，所以需要再對 p 求模。
f(x) = 1 .... (x=1,2)
f(x) = f(x-1) + f(x-2) .... (x>2)
對於給定的整數 n 和 m，我們希望求出：
f(1) + f(2) + ... + f(n) 的值。但這個值可能非常大，所以我們把它對 f(m) 取模。
公式如下
但這個數字依然很大，所以需要再對 p 求模。
輸入格式
輸入為一行用空格分開的整數 n m p (0 < n, m, p < 10^18)
輸出格式
輸出為1個整數，表示答案
樣例輸入
2 3 5
樣例輸出
0
樣例輸入
15 11 29
樣例輸出
25
---------------分割線------------------
自己思考了這個問題很長時間，主要在這一步上被卡住了，看圖：
1、2倆式都是斐波那契函數的性質，簡單的推導就能推出來。然后我就被卡在圖片中“？”這里了。
在此感謝2位博主的博客，附上鏈接：
http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/21822165
http://blog.csdn.net/ronnoc/article/details/22209365
具體所涉及到的知識第一個博客基本講的很清楚，但是矩陣快速冪會超出long long的規模，第二個博客中給出了解決方案。
羅列一下這題所需的知識點：
1、矩陣快速冪；2、斐波那契函數的4個性質，具體在第一個博客鏈接中可以很清楚的看到。3、需要較強的分類討論思想（感覺回到了高中課堂？！）
以下是我通過藍橋杯評測的C語言代碼：
1 #include <stdio.h> 2 long long p; 3 typedef struct matrix2_2 4 { 5 long long x[2][2]; 6 }mat; 7 mat A={1,1,1,0}; 8 mat E={1,0,0,1}; 9 long long mul(long long a,long long b,long long mod) 10 { 11 long long x=0; 12 if(a<b) 13 { 14 a=a^b; 15 b=a^b; 16 a=a^b; 17 } 18 while(b) 19 { 20 if(b%2) 21 x=(x+a)%mod; 22 a=(a*2)%mod; 23 b=b/2; 24 } 25 return x; 26 } 27 mat mat_multi(mat a,mat b) 28 { 29 mat c; 30 int i,j,k; 31 for(i=0;i<2;i++) 32 for(j=0;j<2;j++) 33 { 34 c.x[i][j]=0; 35 for(k=0;k<2;k++) 36 { 37 c.x[i][j]+=mul(a.x[i][k],b.x[k][j],p); 38 c.x[i][j]%=p; 39 } 40 } 41 return c; 42 } 43 mat mat_pow(mat X,long long n) 44 { 45 mat a=E; 46 mat b=X; 47 while(n) 48 { 49 if(n%2) 50 { 51 a=mat_multi(a,b); 52 n--; 53 } 54 b=mat_multi(b,b); 55 n=n/2; 56 } 57 return a; 58 } 59 //計算f(n)%p 60 long long dream(long long n) 61 { 62 mat a=mat_pow(A,n); 63 return a.x[1][0]; 64 } 65 //計算f(m-1)*f(n%m)%f(m) 66 long long real(long long n,long long m) 67 { 68 long long a=n%m; 69 if(a%2) 70 return dream(m-a); 71 return((dream(m)-dream(m-a))%p+p)%p; 72 } 73 long long solve(long long n,long long m) 74 { 75 long long t1=n/m; 76 if(m%2) 77 { 78 if(!t1%2&&!t1%4) 79 return dream(n%m); 80 if(!t1%2&&t1%4) 81 return ((dream(m)-dream(n%m))%p+p)%p; 82 if(t1%2&&!t1%4) 83 return real(n,m); 84 if(t1%2&&t1%4) 85 return ((dream(m)-real(n,m))%p+p)%p; 86 } 87 else 88 { 89 if(t1%2) 90 return real(n,m); 91 else 92 return dream(n%m); 93 } 94 } 95 long long get_value(long long n,long long m) 96 { 97 n+=2; 98 long long a=solve(n,m); 99 if(!a) 100 return dream(m)-1; 101 return a-1; 102 } 103 int main(int argc, char *argv[]) 104 { 105 long long n,m; 106 scanf("%I64d%I64d%I64d",&n,&m,&p); 107 printf("%I64d",get_value(n,m)); 108 return 0; 109 }
mat是矩陣數據結構，其實用一維數組就可以，但是二維數組更形象點。函數mul是給出的a*b超出規模的解決方案；函數mat_multi是矩陣乘法；函數mat_pow是矩陣快速冪；函數dream是簡單的除余，函數real是復雜點的除余，具體分類討論思想請參考第一個博客鏈接；函數solve是針對不同n,m的解決方案；函數get_value是得到我們最終的結果啦：）
手賤點開的一道題，不過收獲真的多。