算法與數據結構基礎 - 位運算(Bit Manipulation)

位運算基礎

說到與(&)、或(|)、非(~)、異或(^)、位移等位運算，就得說到位運算的各種奇淫巧技，下面分運算符說明。

 

1. 與(&)

計算式 a&b，a、b各位中同為 1 才為 1，否則為0，a&1和a%2效果一樣；來看兩道典型的題目，第1道計算整數二進制中 1 的位數：

    //191. Number of 1 Bits
    int hammingWeight(uint32_t n) {
        int res=0;
        while(n!=0){
            n=n&(n-1); ++res;
        }
        return res;
    }

n=n&(n-1)代表去掉整數n二進制中最左側為 1 的位，例如n=12，則：

n    -> 1 1 0 0
            &
n-1  -> 1 0 1 1
------------------
        1 0 0 0

第2道判斷一個數是否為4的乘方數（不能用loop解）：

    //342. Power of Four
    bool isPowerOfFour(int num) {
        if(num==INT_MIN) return false;
        return !(num&(num-1)) && (num&0x55555555);
    }

以上0x55555555的二進制表示為……01010101 (偶數位為0、奇數位為1)，像這樣tricky的數還有：

0xaaaaaaaa : 10101010101010101010101010101010 (偶數位為1，奇數位為0）
0x33333333 : 00110011001100110011001100110011 (1和0每隔兩位交替出現)
0xcccccccc : 11001100110011001100110011001100 (0和1每隔兩位交替出現)
0x0f0f0f0f : 00001111000011110000111100001111 (1和0每隔四位交替出現)
0xf0f0f0f0 : 11110000111100001111000011110000 (0和1每隔四位交替出現)

 

相關LeetCode題：

191. Number of 1 Bits  題解

342. Power of Four  題解

201. Bitwise AND of Numbers Range  題解

 

2. 或(|)

計算式a|b，a、b各位中有一個為1則結果為1；來看一道題：有正整數n，求小於或等於n的2的最大乘方數（不能用loop解）：

int largest_power(ing N) {
    N = N | (N>>1);
    N = N | (N>>2);
    N = N | (N>>4);
    N = N | (N>>8);
    N = N | (N>>16);
    return (N+1)>>1;
}

看起來是不是相當tricky，其思路是用或運算將右邊位數置為1，例如n=01010，通過或操作n變為01111，則n+1為10000，所求為01000；更詳細解釋見 這里

相關LeetCode題：

190. Reverse Bits  題解

898. Bitwise ORs of Subarrays  題解

 

3. 異或(^)

計算式a^b，a、b對應位相同為0，相異則為1；根據異或性質有a^a=0，a^0=a，利用該性質可解決136. Single Number：

    //136. Single Number
    int singleNumber(vector<int>& nums) {
        int res=0;
        for(auto x:nums) res^=x;
        return res;
    }

相關LeetCode題：

136. Single Number  題解

461. Hamming Distance  題解

371. Sum of Two Integers  題解

260. Single Number III  題解

 

4. 位移

a<<1效果相當於a*2(不超出數值類型范圍情況下)，a>>1效果相當於a/2，位移常用於按位輪詢。

相關LeetCode題：

405. Convert a Number to Hexadecimal  題解

751. IP to CIDR  題解

 

逐位計算結果 

有意思的時當我們的目光放到bit的維度，一些問題可以按位來求解，例如169. Majority Element求數組中出現次數大於一半的數：

    //169. Majority Element
    int majorityElement(vector<int>& nums) {
        int mask=1,size=nums.size(),ret=0;
        for(int i=0;i<32;i++){
            int count=0;
            for(int j=0;j<size;j++){
                if(nums[j]&mask) count++;
                if(count>size/2){ ret|=mask;  //逐位計算結果break;
                }
            }
            mask<<=1;
        }
        return ret;
    }

相關LeetCode題：

169. Majority Element  題解

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使用bit表示數據

在一些場景下我們希望用bit來表示數據，或節省空間或利用bit的運算特性來表示狀態轉換。

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