本篇是這段時間學習小波變換的一個收尾，了解一下常見的小波函數，混個臉熟，知道一下常見的幾個術語，有個印象即可，這里就當是先作一個備忘錄，以后若有需要再深入研究。
一、小波基選擇標准
小波變換不同於傅里葉變換，根據小波母函數的不同，小波變換的結果也不盡相同。現實中到底選擇使用哪一種小波的標准一般有以下幾點：
1、支撐長度
小波函數Ψ(t)、Ψ(ω)、尺度函數φ(t)和φ(ω)的支撐區間，是當時間或頻率趨向於無窮大時，Ψ(t)、Ψ(ω)、φ(t)和φ(ω)從一個有限值收斂到0的長度。支撐長度越長，一般需要耗費更多的計算時間，且產生更多高幅值的小波系數。大部分應用選擇支撐長度為5~9之間的小波，因為支撐長度太長會產生邊界問題，支撐長度太短消失矩太低，不利於信號能量的集中。
這里常常見到“緊支撐”的概念，通俗來講，對於函數f(x)，如果自變量x在0附近的取值范圍內，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值為0，那么這個函數f(x)就是緊支撐函數，而這個0附近的取值范圍就叫做緊支撐集。總結為一句話就是“除在一個很小的區域外，函數為零，即函數有速降性”。
2、對稱性
具有對稱性的小波，在圖像處理中可以很有效地避免相位畸變，因為該小波對應的濾波器具有線性相位的特點。
3、消失矩
在實際中，對基本小波往往不僅要求滿足容許條件，對還要施加所謂的消失矩（Vanishing Moments）條件，使盡量多的小波系數為零或者產生盡量少的非零小波系數，這樣有利於數據壓縮和消除噪聲。消失矩越大，就使更多的小波系數為零。但在一般情況下，消失矩越高，支撐長度也越長。所以在支撐長度和消失矩上，我們必須要折衷處理。
小波的消失矩的定義為，若
其中，Ψ(t)為基本小波，0<=p<N。則稱小波函數具有N階消失矩。從上式還可以得出，同任意n-1階多項式正交。在頻域內表示就是Ψ(ω)在ω=0處有高階零點（一階零點就是容許條件）。
4、正則性
在量化或者舍入小波系數時，為了減小重構誤差對人眼的影響，我們必須盡量增大小波的光滑性或者連續可微性。因為人眼對“不規則”(irregular)誤差比“平滑”誤差更加敏感。換句話說，我們需要強加“正則性”(regularity)條件。也就是說正則性好的小波，能在信號或圖像的重構中獲得較好的平滑效果，減小量化或舍入誤差的視覺影響。但在一般情況下，正則性好，支撐長度就長，計算時間也就越大。因此正則性和支撐長度上，我們也要有所權衡。
消失矩和正則性之間有很大關系，對很多重要的小波（比如，樣條小波，Daubechies小波等）來說，隨着消失矩的增加，小波的正則性變大，但是，並不能說隨着小波消失矩的增加，小波的正則性一定增加，有的反而變小。
5、相似性
選擇和信號波形相似的小波，這對於壓縮和消噪是有參考價值的。
二、常見的小波基
以下列出的15種小波基是Matlab中支持的15種。
| 小波函數 |
Haar |
Daubechies |
Biorthogonal |
Coiflets |
Symlets |
Morlet |
Mexican Hat |
Meyer |
| 小波縮寫名 |
haar |
db |
bior |
coif |
sym |
morl |
mexh |
meyr |
| 表示形式 |
haar |
db N |
biorNr.Nd |
coif N |
sym N |
morl |
mexh |
meyr |
| 舉例 |
haar |
db3 |
bior2.4 |
coif3 |
sym2 |
morl |
mexh |
meyr |
| 正交性 |
有 |
有 |
無 |
有 |
有 |
無 |
無 |
有 |
| 雙正交性 |
有 |
有 |
有 |
有 |
有 |
無 |
無 |
有 |
| 緊支撐性 |
有 |
有 |
有 |
有 |
有 |
無 |
無 |
無 |
| 連續小波變換 |
可以 |
可以 |
可以 |
可以 |
可以 |
可以 |
可以 |
可以 |
| 離散小波變換 |
可以 |
可以 |
可以 |
可以 |
可以 |
不可以 |
不可以 |
可以 但無FWT |
| 支撐長度 |
1 |
2N-1 |
重構:2Nr+1 分解:2Nd+1 |
6N-1 |
2N-1 |
有限長度 |
有限長度 |
有限長度 |
| 濾波器長度 |
2 |
2N |
Max(2Nr, 2Nd)+2 |
6N |
2N |
[-4, 4] |
[-5, 5] |
[-8, 8] |
| 對稱性 |
對稱 |
近似對稱 |
不對稱 |
近似對稱 |
近似對稱 |
對稱 |
對稱 |
對稱 |
| 小波函數 消失矩階數 |
1 |
N |
Nr-1 |
2N |
N |
- |
- |
- |
| 尺度函數 消失矩階數 |
- |
- |
|
2N-1 |
- |
- |
- |
- |
| 小波函數 |
Gaus |
Dmeyer |
ReverseBior |
Cgau |
Cmor |
Fbsp |
Shan |
|
| 小波縮寫名 |
gaus |
dmey |
rbioNr.Nd |
cgau |
cmor |
fbsp |
shan |
|
| 表示形式 |
gaus N |
dmey |
rbioNr.Nd |
cgau N |
cmor |
fbsp |
shan |
|
| 舉例 |
gaus3 |
dmey |
rbio2.4 |
cgau3 |
cmor |
fbsp |
shan |
|
| 緊支撐正交性 |
無 |
無 |
無 |
無 |
無 |
無 |
無 |
|
| 緊支撐雙正交性 |
無 |
無 |
有 |
無 |
無 |
無 |
無 |
|
| 連續小波變換 |
可以 |
不可以 |
可以 |
不可以 |
不可以 |
不可以 |
不可以 |
|
| 離散小波變換 |
不可以 |
可以 |
可以 |
不可以 |
不可以 |
不可以 |
不可以 |
|
| 對稱性 |
對稱 |
對稱 |
對稱 |
對稱 |
對稱 |
對稱 |
對稱 |
|
| 小波函數 消失矩階數 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
|
| 尺度函數 消失矩階數 |
- |
- |
Nr-1 |
- |
- |
- |
- |
- |
1、Haar小波
Haar，一般音譯為“哈爾”。
Haar函數是小波分析中最早用到的一個具有緊支撐的正交小波函數，也是最簡單的一個小波函數，它是支撐域在t∈[0,1]范圍內的單個矩形波。
Haar小波在時域上是不連續的，所以作為基本小波性能不是特別好。
在Matlab中輸入命令waveinfo('haar')可得到如下信息：
General characteristics: Compactlysupported
wavelet, the oldest and the simplestwavelet.
scaling function phi = 1 on [0 1] and 0otherwise.
wavelet function psi = 1 on [0 0.5], = -1on [0.5 1] and 0 otherwise.
Family Haar
Short name haar
Examples haar is the same as db1
Orthogonal yes
Biorthogonal yes
Compact support yes
DWT possible
CWT possible
Support width 1
Filters length 2
Regularity haar is not continuous
Symmetry yes
Number of vanishing
moments for psi 1
2、Daubechies(dbN)小波(緊支集正交小波)
Daubechies，一般音譯為“多貝西”。
Daubechies小波是由世界著明的小波分析學者Ingrid Daubechies(一般音譯為英格麗·多貝西)構造的小波函數，我們一般簡寫成dbN，N是小波的階數。小波函數Ψ(t)和尺度函數φ(t)中的支撐區為2N-1，Ψ(t)的消失矩為N。dbN小波具有較好的正則性，即該小波作為稀疏基所引入的光滑誤差不容易被察覺，使得信號重構過程比較光滑。dbN小波的特點是隨着階次（序列N）的增大消失矩階數越大，其中消失矩越高光滑性就越好，頻域的局部化能力就越強，頻帶的划分效果越好，但是會使時域緊支撐性減弱，同時計算量大大增加，實時性變差。另外，除N=1外，dbN小波不具有對稱性（即非線性相位），即在對信號進行分析和重構時會產生一定的相位失真。dbN沒有明確的表達式（除了N=1外，N=1時即為Haar小波）。
在Matlab中輸入命令waveinfo('db')可得到如下信息：
General characteristics: Compactlysupported
wavelets with extremal phase and highest
number of vanishing moments for a given
support width. Associated scaling filtersare
minimum-phase filters.
Family Daubechies
Short name db
Order N N strictly positive integer
Examples db1 or haar, db4, db15
Orthogonal yes
Biorthogonal yes
Compact support yes
DWT possible
CWT possible
Support width 2N-1
Filters length 2N
Regularity about 0.2 N for large N
Symmetry far from
Number of vanishing
moments for psi N
3、Symlet(symN)小波(近似對稱的緊支集正交小波)
Symlet小波函數是IngridDaubechies提出的近似對稱的小波函數，它是對db函數的一種改進。Symlet小波系通常表示為symN (N=2,3,…,8)。symN小波的支撐范圍為2N-1，消失矩為N，同時也具備較好的正則性。該小波與dbN小波相比，在連續性、支集長度、濾波器長度等方面與dbN小波一致，但symN小波具有更好的對稱性，即一定程度上能夠減少對信號進行分析和重構時的相位失真。
在Matlab中輸入命令waveinfo('sym')可得到如下信息：
General characteristics: Compactlysupported wavelets with
least asymmetry and highest number ofvanishing moments
for a given support width.
Associated scaling filters are nearlinear-phase filters.
Family Symlets
Short name sym
Order N N = 2, 3, ...
Examples sym2, sym8
Orthogonal yes
Biorthogonal yes
Compact support yes
DWT possible
CWT possible
Support width 2N-1
Filters length 2N
Regularity
Symmetry near from
Number of vanishing
moments for psi N
4、Coiflet(coifN)小波
根據R.Coifman的要求，Daubechies構造了Coiflet小波，它具有coifN (N=1,2,3,4,5)這一系列。Coiflet的小波函數Ψ(t)的2N階矩為零，尺度函數φ(t)的2N-1階矩為零。Ψ(t)和φ(t)的支撐長度為6N-1。Coiflet的Ψ(t)和φ(t)具有比dbN更好的對稱性。
在Matlab中輸入命令waveinfo('coif')可得到如下信息：
General characteristics: Compactlysupported
wavelets with highest number of vanishing
moments for both phi and psi for a given
support width.
Family Coiflets
Short name coif
Order N N = 1, 2, ..., 5
Examples coif2, coif4
Orthogonal yes
Biorthogonal yes
Compact support yes
DWT possible
CWT possible
Support width 6N-1
Filters length 6N
Regularity
Symmetry near from
Number of vanishing
moments for psi 2N
Number of vanishing
moments for phi 2N-1
5、Biorthogonal(biorNr.Nd)小波
為了解決對稱性和精確信號重構的不相容性，引入了雙正交小波，稱為對偶的兩個小波分別用於信號的分解和重構。雙正交小波解決了線性相位和正交性要求的矛盾。由於它有線性相位特性，所以主要應用在信號與圖像的重構中。通常的用法是采用一個函數進行分解，用另外一個小波函婁進行重構。
雙正交小波與正交小波的區別在於正交小波滿足<Ψj,k ,Ψl,m>=δj,kδl,m，也就是對小波函數的伸縮和平移構成的基函數完全正交，而雙正交小波滿足的正交性為<Ψj,k ,Ψl,m>=δj,k，也就是對不同尺度伸縮下的小波函數之間有正交性，而同尺度之間通過平移得到的小波函數系之間沒有正交性，所以用於分解與重構的小波不是同一個函數，相應的濾波器也不能由同一個小波生成。
該小波雖然不是正交小波，但卻是雙正交小波，具備正則性，同時也是緊支撐的，其重構支撐范圍為2Nr+1，分解支撐范圍為2Nd+1。biorNr.Nd小波的主要特征表現在具有線性相位特性。一般來說為了獲得線性相位，需要降低對於正交性的局限，為此該雙正交小波降低了對於正交性的要求，保留了正交小波的一部分正交性，使小波攻得了線性相位和較短支集的特性。
在Matlab中輸入命令waveinfo('bior')可得到如下信息：
General characteristics: Compactly supported
biorthogonal spline wavelets for which
symmetry and exact reconstruction are possible
withFIR filters (in orthogonal case it is
impossible except for Haar).
Family Biorthogonal
Shortname bior
OrderNr,Nd Nr = 1 , Nd = 1, 3, 5
r forreconstruction Nr = 2 , Nd = 2, 4, 6,8
d fordecomposition Nr = 3 , Nd = 1, 3, 5,7, 9
Nr = 4 , Nd = 4
Nr = 5 , Nd = 5
Nr = 6 , Nd = 8
Examples bior3.1,bior5.5
Orthogonal no
Biorthogonal yes
Compact support yes
DWT possible
CWT possible
Support width 2Nr+1 forrec., 2Nd+1 for dec.
Filters length max(2Nr,2Nd)+2 but essentially
biorNr.Nd ld lr
effective length effective length
of Lo_D of Hi_D
bior1.1 2 2
bior1.3 6 2
bior1.5 10 2
bior2.2 5 3
bior2.4 9 3
bior2.6 13 3
bior2.8 17 3
bior3.1 4 4
bior3.3 8 4
bior3.5 12 4
bior3.7 16 4
bior3.9 20 4
bior 4.4 9 7
bior5.5 9 11
bior6.8 17 11
Regularity for
psirec. Nr-1 and Nr-2 at theknots
Symmetry yes
Numberof vanishing
moments for psi dec. Nr
Remark: bior 4.4 , 5.5 and 6.8 are such that reconstruction and
decomposition functions and filters are close in value.
6、ReverseBior小波
由Biorthogonal而來，因此兩者形式很類似。
在Matlab中輸入命令waveinfo('bior')可得到如下信息：
General characteristics: Compactly supported
biorthogonal spline wavelets for which
symmetry and exact reconstruction are possible
withFIR filters (in orthogonal case it is
impossible except for Haar).
Family Biorthogonal
Shortname rbio
OrderNd,Nr Nd = 1 , Nr = 1, 3, 5
r forreconstruction Nd = 2 , Nr = 2, 4, 6,8
d fordecomposition Nd = 3 , Nr = 1, 3, 5,7, 9
Nd = 4 , Nr = 4
Nd = 5 , Nr = 5
Nd = 6 , Nr = 8
Examples rbio3.1,rbio5.5
Orthogonal no
Biorthogonal yes
Compact support yes
DWT possible
CWT possible
Support width 2Nd+1 forrec., 2Nr+1 for dec.
Filters length max(2Nd,2Nr)+2 but essentially
rbioNd.Nr lr ld
effective length effective length
of Hi_D of Lo_D
rbio1.1 2 2
rbio1.3 6 2
rbio1.5 10 2
rbio2.2 5 3
rbio2.4 9 3
rbio2.6 13 3
rbio2.8 17 3
rbio3.1 4 4
rbio3.3 8 4
rbio3.5 12 4
rbio3.7 16 4
rbio3.9 20 4
rbio4.4 9 7
rbio5.5 9 11
rbio6.8 17 11
Regularity for
psirec. Nd-1 and Nd-2 at theknots
Symmetry yes
Numberof vanishing
moments for psi dec. Nd
Remark: rbio 4.4 , 5.5 and 6.8 are such that reconstruction and
decomposition functions and filters are close in value.
7、Meyer小波
Meyer小波的小波函數和尺度函數都是在頻率域中進行定義的，它不是緊支撐的，但它的收斂速度很快。
在Matlab中輸入命令waveinfo('meyr')可得到如下信息：
General characteristics: Infinitely regular orthogonal wavelet.
Family Meyer
Shortname meyr
Orthogonal yes
Biorthogonal yes
Compact support no
DWT possiblebut without FWT
FIR based approximation provides FWT
CWT possible
Support width infinite
Effective support [-8 8]
Regularity indefinitely derivable
Symmetry yes
8、Dmeyer小波
Dmeyer即離散的Meyer小波，它是Meyer小波基於FIR的近似，用於快速離散小波變換的計算。
在Matlab中輸入命令waveinfo('dmey')可得到如下信息：
Definition: FIR based approximation of theMeyer Wavelet.
Family DMeyer
Short name dmey
Orthogonal yes
Biorthogonal yes
Compact support yes
DWT possible
CWT possible
9、Gaussian小波
Gaussian小波是高斯密度函數的微分形式，它是一種非正交與非雙正交的小波，沒有尺度函數。
在Matlab中輸入命令waveinfo('gaus')可得到如下信息：
Definition: derivatives of the Gaussian
probability density function.
gaus(x,n) = Cn * diff(exp(-x^2),n) wherediff denotes
the symbolic derivative and where Cn issuch that
the 2-norm of gaus(x,n) = 1.
Family Gaussian
Short name gaus
Wavelet name gaus"n"
Orthogonal no
Biorthogonal no
Compact support no
DWT no
CWT possible
Support width infinite
Effective support [-5 5]
Symmetry yes
n even ==> Symmetry
n odd ==> Anti-Symmetry
10、MexicanHat(mexh)小波
Mexican Hat函數為Gauss函數的二階導數。因數它的形狀像墨西哥帽的截面，所以我們稱這個函數為墨西哥草帽函數。它在時域和頻率都有很好的局部化，但不存在尺度函數，所以此小波函數不具有正交性。
在Matlab中輸入命令waveinfo('mexh')可得到如下信息：
Definition: second derivative of theGaussian
probability density function
mexh(x) = c * exp(-x^2/2) * (1-x^2)
where c = 2/(sqrt(3)*pi^{1/4})
Family Mexican hat
Short name mexh
Orthogonal no
Biorthogonal no
Compact support no
DWT no
CWT possible
Support width infinite
Effective support [-5 5]
Symmetry yes
11、Morlet小波
Morlet小波是高斯包絡下的單頻率正弦函數，沒有尺度函數，是非正交分解。
在Matlab中輸入命令waveinfo('morl')可得到如下信息：
Definition:
morl(x) = exp(-x^2/2) * cos(5x)
Family Morlet
Short name morl
Orthogonal no
Biorthogonal no
Compact support no
DWT no
CWT possible
Support width infinite
Effective support [-4 4]
Symmetry yes
12、ComplexGaussian小波
屬於一類復小波，沒有尺度函數。
在Matlab中輸入命令waveinfo('cgau')可得到如下信息：
Definition: derivatives of the complexGaussian
function
cgau(x) = Cn * diff(exp(-i*x)*exp(-x^2),n)where diff denotes
the symbolic derivative and where Cn is aconstant
Family Complex Gaussian
Short name cgau
Wavelet name cgau"n"
Orthogonal no
Biorthogonal no
Compact support no
DWT no
Complex CWT possible
Support width infinite
Symmetry yes
n even ==> Symmetry
n odd ==> Anti-Symmetry
13、ComplexShannon Wavelets：shan
在Matlab中輸入命令waveinfo('shan')可得到如下信息：
Definition: a complex Shannon wavelet is
shan(x) =Fb^{0.5}*sinc(Fb*x)*exp(2*i*pi*Fc*x)
depending on two parameters:
Fb is a bandwidth parameter
Fc is a wavelet center frequency
The condition Fc > Fb/2 is sufficient toensure that
zero is not in the frequency supportinterval.
Family Complex Shannon
Short name shan
Wavelet name shan"Fb"-"Fc"
Orthogonal no
Biorthogonal no
Compact support no
DWT no
complex CWT possible
Support width infinite
14、ComplexFrequency B-Spline Wavelets (復高斯B樣條小波)
樣條函數（splinefunction）指一類分段（片）光滑、並且在各段交接處也有一定光滑性的函數，簡稱樣條。
在Matlab中輸入命令waveinfo('fbsp')可得到如下信息：
Definition: a complex Frequency B-Splinewavelet is
fbsp(x) = Fb^{0.5}*(sinc(Fb*x/M))^M*exp(2*i*pi*Fc*x)
depending on three parameters:
M is an integer order parameter(>=1)
Fb is a bandwidth parameter
Fc is a wavelet center frequency
For M = 1, the condition Fc > Fb/2 issufficient to ensure
that zero is not in the frequency supportinterval.
Family Complex Frequency B-Spline
Short name fbsp
Wavelet name fbsp"M"-"Fb"-"Fc"
Orthogonal no
Biorthogonal no
Compact support no
DWT no
complex CWT possible
Support width infinite
15、ComplexMorlet小波
Morlet小波是一種單頻復正弦調制高斯波，也是最常用的復值小波該小波，在時頻兩域均具有良好的分辨率，將此小波加以改造特別適用於地震資料的分析。
在Matlab中輸入命令waveinfo('cmor')可得到如下信息：
Definition: a complex Morlet wavelet is
cmor(x) =(pi*Fb)^{-0.5}*exp(2*i*pi*Fc*x)*exp(-(x^2)/Fb)
depending on two parameters:
Fb is a bandwidth parameter
Fc is a wavelet center frequency
Family Complex Morlet
Short name cmor
Wavelet name cmor"Fb"-"Fc"
Orthogonal no
Biorthogonal no
Compact support no
DWT no
complex CWT possible
Support width infinite
參考文獻
【1】葛哲學，沙威.小波分析理分與MATLAB R2007實現[M].北京：電子工業出版社，2007.
【2】魏明果.實用小波分析[M].北京：北京理工大學出版社，2005.
【3】董長虹. Matlab小波分析工具箱原理與應用[M].北京：國防工業出版社，2004.
【4】張穎超，茅丹，胡凱.壓縮傳感理論在心電圖信號恢復問題上的研究[J]. 計算機研究發展，2014，51(5)：1018-1027.
【5】wcrzq，microwest.緊支集是什么意思，求詳細解釋，謝謝.百度知道
【6】zhaodong584584. 消失矩階數，百度百科
【7】well3216. 對消失矩的理解(轉載自matwav)，CSDN博客
【8】小米. 小波消失矩，新浪博客
【9】muchi1234. 正則性，百度百科
【10】洋務大臣. 樣條函數，百度百科
【11】其它網絡資源，Thanks!!!
轉自：https://blog.csdn.net/u013346007/article/details/53462359 多謝且僅用於學習