洛谷P1742 最小圓覆蓋（計算幾何）

題面

傳送門

題解

之前只是在抄題解……這篇才算是真正自己想的吧……

首先我們把輸入序列給\(random\)一下防止出題人好心送你一個毒瘤序列

我們設\(r\)為當前最大半徑，\(o\)為此時對應圓心

先說一下算法過程：

令前\(i-1\)個點的最小覆蓋圓為\((o,r)\)

如果第\(i\)個點在這個圓中，直接跳過

如果不在，那么第\(i\)個點一定在前\(i\)個點的最小覆蓋圓上，此時前\(i-1\)個點中還有兩個也在最小覆蓋圓上。那么我們設\(o=p_i,r=0\)，做固定了第\(i\)個點的最小圓覆蓋

固定了一個點：不停地在范圍內找第一個不在圓內的點\(p_j\)，令\(o=(p_i+p_j)/2,r={1\over 2}|p_ip_j|\)，做固定了兩個點的最小圓覆蓋

固定了兩個點：在范圍內找第一個不在圓內的點\(p_k\)，將圓設為\(p_i,p_j,p_k\)的外接圓

這一個\(O(n^3)\)的算法有個啥用？我還不如寫個暴力呢

然而實際上上面這個算法在給定點的序列是隨機的情況下是期望\(O(n)\)的（這也是我們為什么一開始要\(random\)的原因）

因為最小圓覆蓋只會由三個點確定，所以如果有\(n\)個點，那么這其中每一個點參與最小圓覆蓋的概率為\({3\over n}\)

也就是說，對於第\(i\)個點，它不在前\(i-1\)個點的外接圓中的概率是\({3\over i}\)，也就是說會從第一層進入第二層的概率是\({3\over i}\)

類似的，第二層進入第三層的概率也是\({3\over i}\)

所以時間復雜度為

\[T_1(n)=O(n)+\sum_{i=1}^n{3\over i}T_2(i) \]

\[T_2(n)=O(n)+\sum_{i=1}^n{3\over i}T_3(i) \]

\[T_3(n)=O(n) \]

綜上，有\(T_1(n)=O(n)\)

然后是一些細節問題，比方說怎么求三點共圓

只要用任意兩條直線的中垂線的交點找出圓心就可以了

以及我們萬一有三點共線導致我們求的兩條中垂線平行怎么辦呀

這個的話可以通過加上一些微小的擾動值來避免（雖然好像不加也能\(A\)就是了）

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define inline __inline__ __attribute__((always_inline))
#define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){
    R int res,f=1;R char ch;
    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);
    for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');
    return res*f;
}
double readdb()
{
    R double x=0,y=0.1,f=1;R char ch;
    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);
    for(x=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';x=x*10+ch-'0');
    for(ch=='.'&&(ch=getc());ch>='0'&&ch<='9';x+=(ch-'0')*y,y*=0.1,ch=getc());
    return x*f;
}
const int N=1e5+5;
struct node{
	double x,y;
	inline node(){}
	inline node(R double xx,R double yy):x(xx),y(yy){}
	inline node operator +(const node &b)const{return node(x+b.x,y+b.y);}
	inline node operator -(const node &b)const{return node(x-b.x,y-b.y);}
	inline double operator *(const node &b)const{return x*b.y-y*b.x;}
	inline node operator *(const double &b)const{return node(x*b,y*b);}
	inline double operator ^(const node &b)const{return x*b.x+y*b.y;}
	inline double len2(){return x*x+y*y;}
	inline node rot(){return node(-y,x);}
}p[N],o;
struct Line{
	node p,v;
	inline Line(){}
	inline Line(R node pp,R node vv):p(pp),v(vv){}
	friend node cross(const Line &a,const Line &b){return a.p+a.v*(b.v*(b.p-a.p)/(b.v*a.v));}
};
node circle(const node &a,const node &b,const node &c){
	return cross(Line((a+b)*0.5,(b-a).rot()),Line((a+c)*0.5,(c-a).rot()));
}
int n;double r;
int main(){
//	freopen("testdata.in","r",stdin);
	n=read();
	fp(i,1,n)p[i].x=readdb(),p[i].y=readdb();
	random_shuffle(p+1,p+1+n);
	r=0,o=node(0,0);
	fp(i,1,n)if((p[i]-o).len2()>r){
		o=p[i],r=0;
		fp(j,1,i-1)if((p[j]-o).len2()>r){
			o=(p[i]+p[j])*0.5,r=(p[j]-o).len2();
			fp(k,1,j-1)if((p[k]-o).len2()>r)
				o=circle(p[i],p[j],p[k]),r=(p[k]-o).len2();
		}
	}
	printf("%.10lf\n%.10lf %.10lf\n",sqrt(r),o.x,o.y);
	return 0;
}