洛谷 P1028 數的計算【遞推】

P1028 數的計算

題目描述

我們要求找出具有下列性質數的個數(包含輸入的自然數n):

先輸入一個自然數n(n<=1000),然后對此自然數按照如下方法進行處理:

1.不作任何處理;

2.在它的左邊加上一個自然數,但該自然數不能超過原數的一半;

3.加上數后,繼續按此規則進行處理,直到不能再加自然數為止.

輸入輸出格式

輸入格式：

一個自然數n(n<=1000)

輸出格式：

一個整數，表示具有該性質數的個數。

輸入輸出樣例

輸入樣例#1： 復制

6

輸出樣例#1： 復制

6

說明

滿足條件的數為

6，16，26，126，36，136

題目鏈接：https://www.luogu.org/problem/show?pid=1028

分析：

就是比如一個數6，然后可以添加一個比6/2小的數（題目是左邊，為了好理解就直接添加），然后可以再添加一個比6/2/2小的數，直到0為止。比如一個數7的其中一段遞歸：

• 比7/2小的數其中有一個3，新數就可以是73；

• 比3/2小的數只有一個1，於是新數就是731。

再舉個例，12：

• 比12/2小的數其中有一個6，新數就可以是126；

• 比6/2小的數中有3、2，新數就可以是1263或1262；

• 比3小的有1，比2小的也是1，新書就是12631或12621。

這么解釋大家應該都看懂了吧。

在打代碼之前，我們不妨手動模擬一下

n=0,n=1時，答案顯然是1
n=2, ans=2;    n=3,ans=2
n=4,ans=4;    n=5,ans=4
n=6,ans=6;    n=7,ans=6

相信大家也發現了，2n與2n+1(n為非負整數)的答案是一樣的 這就是第一個規律

然后我們以n=8為例，手動模擬一下

一共有10組解

8 1 8 2 8 3 8 4 8

1 2 8 1 3 8 1 4 8 2 4 8

1 2 4 8

我打出的東西很像一棵搜索樹。。。

當我們把8和8下面的左三棵子樹放在一起（即8和下面三列），並將所有的8都改成7，我們能發現，我們得到了n=7時的所有解；

我們再把最右端的子樹（即剩下的部分）中的所有8刪去，我們得到了n=4時的所有解

就這樣，我們可以得到一個遞推式，

    f(n)=f(n-1) //7=8-1 +f(n/2) //4=8/2

再結合之前發現的規律

就能得到：

n%2==0時 f(n)=f(n-1)+f(n/2) n%2==1時 f(n)=f(n-1) 然后問題就迎刃而解啦

設f[i]為初始值為i時的滿足條件總數，可得f[i]=f[1]+f[2]+f[3]+...+f[i/2];容易想到f[1]=1;

因為f[i]=f[1]+f[2]+f[3]+...+f[i/2] 所以當i為奇數時f[i]=f[i-1],當i為偶數時f[i]=f[i-1]+f[i/2];

然后我們可以手動AC了！

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[1001];
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    f[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
            f[i]=f[i-1];
            if(i%2==0)
                f[i]+=f[i/2];
    }
    cout<<f[n];
    return 0;
}