問題描述
W 國的交通呈一棵樹的形狀。W 國一共有n - 1個城市和n個鄉村，其中城市從1到n - 1 編號，鄉村從1到n編號，且1號城市是首都。道路都是單向的，本題中我們只考慮從鄉村通往首都的道路網絡。對於每一個城市，恰有一條公路和一條鐵路通向這座城市。對於城市i， 通向該城市的道路（公路或鐵路）的起點，要么是一個鄉村，要么是一個編號比ii大的城市。 沒有道路通向任何鄉村。除了首都以外，從任何城市或鄉村出發只有一條道路；首都沒有往 外的道路。從任何鄉村出發，沿着唯一往外的道路走，總可以到達首都。
W 國的國王小 W 獲得了一筆資金，他決定用這筆資金來改善交通。由於資金有限，小 W 只能翻修n - 1條道路。小 W 決定對每個城市翻修恰好一條通向它的道路，即從公路和鐵 路中選擇一條並進行翻修。小 W 希望從鄉村通向城市可以盡可能地便利，於是根據人口調 查的數據，小 W 對每個鄉村制定了三個參數，編號為ii的鄉村的三個參數是ai，bi和ci。假設 從編號為i的鄉村走到首都一共需要經過x條未翻修的公路與y條未翻修的鐵路，那么該鄉村 的不便利值為
在給定的翻修方案下，每個鄉村的不便利值相加的和為該翻修方案的不便利值。 翻修n - 1條道路有很多方案，其中不便利值最小的方案稱為最優翻修方案，小 W 自然 希望找到最優翻修方案，請你幫助他求出這個最優翻修方案的不便利值。
輸入格式
第一行為正整數n。
接下來n - 1行，每行描述一個城市。其中第i行包含兩個數si,ti。si表示通向第i座城市 的公路的起點，ti表示通向第i座城市的鐵路的起點。如果si > 0，那么存在一條從第si座城 市通往第i座城市的公路，否則存在一條從第-si個鄉村通往第i座城市的公路；ti類似地，如 果ti >，那么存在一條從第ti座城市通往第i座城市的鐵路，否則存在一條從第-ti個鄉村通 往第i座城市的鐵路。
接下來n行，每行描述一個鄉村。其中第i行包含三個數ai,bi,ci，其意義如題面所示。
輸出格式
輸出一行一個整數，表示最優翻修方案的不便利值。
樣例輸入
6
2 3
4 5
-1 -2
-3 -4
-5 -6
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1
樣例輸出
54
解析
由題目的意思，最后構成的樹有這些特征：葉節點都是鄉村；每個城市只有兩個兒子，且一個是公路，一個是鐵路。考慮階段為當前到了哪個點。描述一個狀態則需要知道經過了多少公路，多少鐵路。所以，我們設計狀態如下：
設\(f[x][l][r]\)表示當前在x點，經過了l條未翻修的公路、r條未翻修的鐵路的最小不方便值。考慮到正着並不好推，我們嘗試着倒着推。每個點只會被兩個子節點更新，且一個子節點是經過公路，一個是經過鐵路。不難得到，我們有如下方程：
當x為葉節點時，由題中的式子，我們可以得到如下初始狀態：
在dfs時，為了優化時間，我們需要記下當前最多會經過多少條沒有翻修的公路和鐵路。但是，這並不能解決空間的問題。可以發現，每次結束遞歸的點此后都不會再調用，所以我們可以每次給一個點一個編號，結束遞歸回收利用編號，就可以做到優化空間了。
代碼
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define int long long
#define N 40002
using namespace std;
int n,i,a[N],b[N],c[N],ls[N],rs[N],f[102][42][42],dfn[N];
int read()
{
char c=getchar();
int w=0,f=1;
while(c<'0'||c>'9'){
if(c=='-') f=-1;
c=getchar();
}
while(c<='9'&&c>='0'){
w=w*10+c-'0';
c=getchar();
}
return w*f;
}
void dfs(int x,int l,int r,int tim)
{
dfn[x]=tim;
if(x>=n){
for(int i=0;i<=l;i++){
for(int j=0;j<=r;j++) f[dfn[x]][i][j]=c[x]*(a[x]+i)*(b[x]+j);
}
return;
}
dfs(ls[x],l+1,r,tim+1);
dfs(rs[x],l,r+1,tim+2);
int pl=dfn[ls[x]],pr=dfn[rs[x]];
for(int i=0;i<=l;i++){
for(int j=0;j<=r;j++){
f[dfn[x]][i][j]=min(f[pl][i][j]+f[pr][i][j+1],f[pl][i+1][j]+f[pr][i][j]);
}
}
}
signed main()
{
n=read();
for(i=1;i<=n-1;i++){
ls[i]=read(),rs[i]=read();
if(ls[i]<0) ls[i]=-ls[i]+n-1;
if(rs[i]<0) rs[i]=-rs[i]+n-1;
}
for(i=n;i<=2*n-1;i++) a[i]=read(),b[i]=read(),c[i]=read();
memset(f,0x3f,sizeof(f));
dfs(1,0,0,1);
printf("%lld\n",f[1][0][0]);
return 0;
}
反思
- 沒有看到路徑長度小於等於40的條件，導致半天沒有設計狀態的思路。
- 正難則反，老是想着從上到下，沒有想過可以從葉節點出發倒推得到答案。