算法與數據結構基礎 - 折半查找(Binary Search)

Binary Search基礎

應用於已排序的數據查找其中特定值，是折半查找最常的應用場景。相比線性查找(Linear Search)，其時間復雜度減少到O(lgn)。算法基本框架如下：

   //704. Binary Search
   int search(vector<int>& nums, int target) {   //nums為已排序數組
        int i=0,j=nums.size()-1;
        while(i<=j){
            int mid=(i+j)/2;
            if(nums[mid]==target) return mid;
            else if(nums[mid]>target) j=mid-1;
            else i=mid+1;
        }
        return -1;
    }

以上查找范圍的上下限 i 和 j 代表索引，算法過程可視化：Binary Search，STL中有序區間函數upper_bound/lower_bound內用的查找方法即是折半查找。

相關LeetCode題：

704. Binary Search  題解

34. Find First and Last Position of Element in Sorted Array  題解

33. Search in Rotated Sorted Array  題解

528. Random Pick with Weight  題解

 

按值范圍折半查找

折半查找還可以應用於非有序區間查找滿足特定條件的值。該場景下所找的值 在已知范圍內，這時折半的不是索引，而是 值本身所在的范圍。算法基本框架如下：

    //287. Find the Duplicate Number
    int findDuplicate(vector<int>& nums) {
        int n=nums.size();
        int i=1,j=n-1;    //[i,j]表示值的區間
        while(i<=j){
            int mid=(i+j)/2,count=0; for(auto k:nums) if(k<=mid) ++count; //根據計數折半縮小區間if(count<=mid) i=mid+1;
            else j=mid-1;
        }
        return i;    //最終返回值本身
    }

相關LeetCode題：

287. Find the Duplicate Number  題解

378. Kth Smallest Element in a Sorted Matrix  題解 

875. Koko Eating Bananas  題解

1011. Capacity To Ship Packages Within D Days  題解

410. Split Array Largest Sum   題解

 

折半查找求遞增序列

求遞增序列(LIS, longest increasing subsequence)是一道經典的算法題目，用折半查找對其進行求解的方法十分巧妙，求解代碼如下：

    //300. Longest Increasing Subsequence
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        int size=0;
        vector<int> tail(nums.size());  //候選遞增序列集for(auto num:nums){
            int i=0,j=size;
            while(i<j){
                int mid=(i+j)/2;
                if(tail[mid]<num) i=mid+1;
                else j=mid;
            }
            tail[i]=num;
            if(i==size) size++;
        }
        return size;
    }

以上設定LIS候選序列集 tail，對無序區間 nums 中的各個值通過折半查找的方法，找到其落在 tail 的位置，最終最長的序列長度即為所求。詳細算法過程說明見 這里 這里

相關LeetCode題：

300. Longest Increasing Subsequence  題解

354. Russian Doll Envelopes  題解