\(i^2\)求和
老祖宗告訴我們\(\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
但是這玩意兒是怎么出來的呢？感覺網上用立方差證明的思路太low了，今天偶然間在Miskcoo大佬的博客中看到了一種腦洞清奇通俗易懂的證明方法
我們要求的是\(S_n = \sum_{i=1}^n i^2\)，現在我們對\(C_n = \sum_{i=1}^n i^3\)來進行"擾動"。
首先列一個恆等式
\[\sum_{i=1}^{n+1} i^3 = C_n + (n+1)^3 \]
這里有個騷操作是把前面的轉化一下
\[\sum_{i=0}^n (i+1)^3 = C_n + (n+1)^3 \]
然后就可以推柿子啦。
\[\begin{aligned} \sum_{i=0}^n i^3 + 3i^2 + 3i + 1 &= C_n + (n+1)^3\\ C_n + 3S_n + 3\frac{n(n+1)}{2} + (n+1)&= C_n + (n+1)^3\\ \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} \Rightarrow S_n &= \frac{2(n+1)^3 - 3n(n+1)-2(n+1)}{6}\\ &=\frac{n(2n + 1)(n+1)}{6} \end{aligned} \]
同時這個方法具有非常強的擴展性，我們也可以推導出\(i^k\)的公式，但是計算起來的復雜度卻是\(k^2\)的，感覺還是拉格朗日插值\(k \log k\)好用一些