一、經典霍爾效應
經典霍爾效應由Edwin Hall於1879年發現。它描述的現象是：
在一個二維平面$(x,y)$的材料中，電子被束縛在此平面內運動，如果施加垂直於此平面的勻強磁場$B$, 並且限制電流的流向在$x$方向，那么我們將會在材料的$y$方向兩邊沿間得到一個電勢差$V_H$，此電壓稱為霍爾電壓。
利用高中學過的洛倫茲力就可以解釋此現象，並計算出霍爾電阻，霍爾系數等物理量。從現在來看，這些現象都是比較平凡無趣的，而這種無趣正是源於霍爾系數是個常數！
霍爾系數的定義為$$R_H=-\frac{E_y}{J_x B}=\frac{\rho_{xy}}{B}$$.
其中$E_y$為在$y$方向的電場，也就是產生霍爾電壓的電場。$J_x$即被限制在$x$方向的電流密度，$B$為磁感應強度。$\rho_{xy}=-\frac{E_y}{J_x}$為電阻率張量的非對角元之一，它也是整個霍爾效應中最為關鍵的可觀測量。鑒於霍爾系數$R_H$是常數，那么$\rho_{xy}$與磁場$B$呈線性關系，這是經典霍爾效應的一個重要結論。
二、量子霍爾效應
量子效應在低溫和強磁場下通常會變得顯著。
（i） 整數量子霍爾效應
第一個量子霍爾效應是由Von Klitzing, Dorda和 Pepper[1]於1980年完成的。它最顯著的結果是$\rho_{xy}$不再像經典霍爾效應一樣可連續取值。它可允許的取值為
$$\rho_{xy}=\frac{2\pi\hbar}{e^2}\frac1\nu,\quad \nu\in Z$$.
如果把$\rho_{xy}$隨$B$變化的曲線繪制，我們發現量子效應就表現為圖1中一個個的平台。每個平台中心處對應的磁場為$B=\frac{2\pi\hbar n}{e\nu}$. 令人驚奇的是$\nu$與整數的差異只有$1/10^9$.
圖1
[1] Phys. Rev. Lett. 45 494.
通常實驗上的材料都是有缺陷的，也就是說它們不是純凈的，是無序的。我們一般總是希望剔除雜質，讓材料更為有序。但是對於整數量子霍爾效應，如果增加材料的無序程度，你會發現圖1中的平台會越發顯著。事實上，如果材料完全有序，那么平台也將消失。注意平台的消失並不代表量子霍爾效應的消失。平台的消失是因為無限多的分數量子霍爾效應的存在，討論見下節。
（ii）分數量子霍爾效應
上面我們看到了$\nu$的取值只能是整數，但在1982年Tsui，Stormer和Gossard[2]一起發現了$\nu$除了整數外還可以取分數。它們的結果如圖2. 其中$\nu=1/3, 2/5$的平台都十分明顯。
圖2
[2] Phys. Rev. Lett. 48 (1982)1559.
但需要注意的是，並不是所有分數平台都出現在了實驗結果中。當系統的無序程度減小時，越來越多的平台會出現。一般來講，人們相信對於一個完美有序的材料，我們將得到無限個平台，因此這將過渡到經典霍爾效應$\rho_{xy}$隨$B$線性變化的結果。