藍橋杯(算法訓練) - 審美課

審美課  

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問題描述

　　《審美的歷程》課上有n位學生，帥老師展示了m幅畫，其中有些是梵高的作品，另外的都出自五歲小朋友之手。老師請同學們分辨哪些畫的作者是梵高，但是老師自己並沒有答案，因為這些畫看上去都像是小朋友畫的……老師只想知道，有多少對同學給出的答案完全相反，這樣他就可以用這個數據去揭穿披着皇帝新衣的抽象藝術了（支持帥老師^_^）。
　　答案完全相反是指對每一幅畫的判斷都相反。

輸入格式

　　第一行兩個數n和m，表示學生數和圖畫數；
　　接下來是一個n*m的01矩陣A：
　　如果aij=0，表示學生i覺得第j幅畫是小朋友畫的；
　　如果aij=1，表示學生i覺得第j幅畫是梵高畫的。

輸出格式

　　輸出一個數ans：表示有多少對同學的答案完全相反。

樣例輸入

3 2
1 0
0 1
1 0

樣例輸出

2

樣例說明

　　同學1和同學2的答案完全相反；
　　同學2和同學3的答案完全相反；
　　所以答案是2。

數據規模和約定

　　對於50%的數據：n<=1000；
　　對於80%的數據：n<=10000；
　　對於100%的數據：n<=50000，m<=20。

 

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使用暴力法只得了70分，最后三個測試用力不通過，需要使用二進制存儲的 思路：

 

將每個學生的答案用數組a[i]以二進制的形式存儲(二進制011對應的是3)。則答案相同的學生在數組a[i]存的值是相同的。

數組res[ a[i] ]用於存儲每種答案的人數。例如，假設res[3]=10，即有10個人答案相同且答案都為3 (十進制3對應的二進制為011)。

按行遍歷，按位取反，與取反后的答案相同的，即為題目要求的完全相反的答案。

最后sum/2是因為重復計算了，除以2之后才是“有多少對同學”。

 

注意：

乍一看，取反不是“~”嗎，為什么用的異或運算符“^”？

異或運算符的規則是：相反為1，相同為0，即:0^0=0, 1^0=1, 0^1=1, 1^1=0

所以無論1還是0，與1異或就實現了取反操作。故可以實現按位取反

 

源代碼：

#include<bits/stdc++.h>  2 using namespace std;  3  4 int a[50000]; //最大輸入50000個學生  5 int res[1048580]={0}; //一共20副畫圖數，最多有2的20次方來存儲 ，類似於篩選法   6 int sum=0; //計算最終結果   7  8 int main()  9 { 10 //freopen("input.txt","r",stdin) ; 11 int n,m; 12 cin>>n>>m; 13 for(int i=0;i<n;i++) 14  { 15 for(int j=0;j<m;j++) 16  { 17 int temp; 18 cin>>temp; 19 a[i]=(a[i]<<1)+temp; 20  } 21 res[a[i]]++; 22  } 23 24 int max=(1<<m)-1; //構造m位全為1的二進制，如3位，向左移動3位就為8，8-1=7的二進制為111 ，剛好為三位  25 for(int i=0;i<n;i++) 26  { 27 int tmp=a[i]^max; 28 sum+=res[tmp]; 29  } 30 31 cout<<sum/2; // 循環時候每個數d 32 //fclose(stdin); 33 return 0; 34 } 

 

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思路2：異或運算和map

用二進制表示每位同學的回答。（m<=20;2^20 在int的范圍內）。

相反的答案用二進制與m個1,1,1.....1（即2^m-1）的數maxn取異或即可。（如 01 == 1 ，10 == 2，2^3 == 1（異或），1^3 == 2 ）

 

因為map默認是按key值從小到大排序的，則可以直接在遍歷map中取0~maxn/2即可。

設m個1,1,1.....1（即2^m-1）的數為maxn，mid = maxn/2; 通過枚舉你會發現 maxn^x = maxn-x = y (x,y屬於[0,maxn]），(maxn與x逐位取異或 實際就是逐位做減法，因為maxn全為1（1>={0,1}），不存在減法借位的),如（111-010 = 101 = 111^010）,則[0,mid]的一個數x與maxn取異的值y一定在(mid,maxn]中。如(maxn = 7, 7^0=7 - 0 = 7、7^1=7-1=6、7^2=7-2=5).

如果你遍歷了map中的[0~mid]那么后面的就不需要再遍歷了，因為后面map中能與[0~mid]匹配的值肯定已經被匹配過了。此步驟可要可不要，不會影響實際的通過。

 

#include <bits/stdc++.h> 
using namespace std;  3 
int main()  5 {  6     //freopen("input.txt","r",stdin);
    ios::sync_with_stdio(false);  8     
    map<int,int> ans; 10     
    int n,m; 12     cin>>n>>m; 13     
    for(int i=0;i<n;i++) 15  { 16         int num=0; 17         int x; 18         for(int j=0;j<m;j++) 19  { 20             cin>>x; 21             num=(num<<1)+x;    //將輸入的一行0或者1轉換為二進制數 (十進制表示)
 } 23         ans[num]++;     //將每個對應的二進制數key的value+1，value默認為0 
 } 25     
    int sum=0,maxn=(1<<m)-1,mid=maxn/2; 27     
    for(map<int,int>::iterator it=ans.begin();it!=ans.end();++it) 29  { 30         int x=it->first; 31         if(x>mid)    //map默認是按key值從小到大排序的，則可以直接在遍歷map中取0~maxn/2即可，[0,mid]的一個數x與maxn取異的值y一定在(mid,maxn]中 
 { 33             break; 34  } 35         int temp=x^maxn;    ////構造m位全為1的二進制，如3位，向左移動3位就為8，8-1=7的二進制為111 ，剛好為三位 
        sum+=ans[temp]*it->second;    //需要將當前的相同的個數和與他取反的數的個數相乘才是有多少個 
 } 38     cout<<sum; 39     
    //fclose(stdin);
    return 0; 42 }