離散對數

       首先回憶一下初等代數里的對數。如果$a^x=b$，就是$x = log_ab$，即x是以a為底b的對數。在模算術中，也有類似的概念，但要比初等代數里的復雜一些。簡單起見，這里只考慮一種最簡單的情況，即當n為素數時，解模方程$a^x \equiv b(mod \ n)$。因為n為素數，只要a不為0，一定存在逆$a^{-1}$。

       根據歐拉定理，只需檢查$x=1,2, \cdots,n-1$是不是解即可，因為$a^{n-1} \equiv 1(mod \ n)$，當x超過n-1時$a^x$就開始循環了。我們先檢查前m項（m的取值稍后敘述），即$a^0,a^1, \cdots, a^{m-1}$模n的值是否為b，並把$a^i \ mod \ n$保存在$e_i$里，求出$a^m$的逆$a^{-m}$.

       下面考慮$a^m,a^{m+1},\cdots,a^{2m-1}$.這次不用一一檢查，因為如果它們中有解，則相當於存在$i$，使得$e_i \times a^m\equiv b(mod \ n)$，兩邊左乘$a^{-m}$得${b}' \equiv a^{-m}b(mod \ n)$。這樣只需檢查是否真存在$e_i$等於這個${b}'$即可。為了方便，可以把$e_i$保存在一個$STL$集合中，但考慮還需要得到具體的下標$i$，我們用$map<int,int>x$，其中$x[j]$表示滿足$e_i = j$的最小的$i$（因為可能有多個$e_i$的值相同）。在下面的代碼中，${b}'$采用遞推計算，覆蓋了輸入參數$b$。

//求解模方程a^x=b(mod n)。n為素數，無解返回-1
int log_mod(int a, int b, int n)
{
    int m, v, e = 1, i;
    m = (int)sqrt(n + 0.5);
    v = inv(pow_mod(a, m, n), n);
    map<int, int>x;
    x[1] = 0;
    for (i = 1; i < m; i++)
    {
        e = mul_mod(e, a, n);
        if (!x.count(e))  x[e] = i;
    }
    for (i = 0; i < m; i++)    //m*i < n，當m=√n，i < m
    {
        if (x.count(b))  return i * m + x[b];
        b = mul_mod(b, v, n);
    }
    return -1;
}

        上面的代碼中，$m=n^{1/2}$，這是為什么呢？因為計算e數組需要$O(mlogm)$時間，以后每一輪需要$O(logm)$時間，一共$O(n/m)$輪，因此總的時間復雜度為$O((m+n/m)logm)$，當$m$和$n/m$接近，即$m=n^{1/2}$時總時間最短，為$O(n^{1/2}logn)$。這個算法稱為Shank的大步小步算法$({Shank}'s \ Baby-Step-Giant-Step \ Algorithm)$.

        當$n$不是素數時，還可以把這個算法加以擴展。

 

易只，BSGS有兩種形式：

$$a^{km+t}\equiv(mod\ p), a^{km-t}\equiv b(mod\ p)$$

第一種形式是經典的BSGS，並可以應用到EXBSGS中，而第二種形式的優點在於不需要求逆元，比如 $a, b$ 是矩陣時。

按照BSGS的思路，可化成 $a^{km}\equiv b*a^t(mod\ p)$，

於是我們便可以把 $b*a^t(mod\ p)$ 存到 map 中，然后枚舉 $k$ 的取值來查詢。

map<int,int>mp;
int bsgs(int a, int b, int p){    //a^x = b (mod P),(a,p)=1，返回x,x>=1; 無解返回-1
    int m=sqrt(p)+1;mp.clear();
    for(register int i=0,res=b;i<m;++i,res=1ll*res*a%p)mp[res]=i;
    for(register int i=1,tmp=qpow(a,m,p),res=tmp;i<=m+1;++i,res=1ll*res*tmp%p)
        if(mp.count(res))return i*m-mp[res];
    return -1;
}

 

 

參考鏈接：

1. 思路：https://www.cnblogs.com/GXZlegend/p/7055000.html

2. 代碼：https://www.cnblogs.com/bztMinamoto/p/10348641.html