離散對數求解學習筆記

一個經典的算法——BSGS算法

    BSGS全名為Baby-Step-Giant-Step，即大小步法，有人戲稱之為北上廣深算法。可以快速求解離散對數問題，形如，C是素數。

    BSGS算法使用了一個重要的引理：

重要的引理

    如果，那么。

    證明這個引理需要用到歐拉定理

歐拉定理

    如果，那么。

    證明（十分精彩的證明）：

        將小於C且與C互質的數順序列出：。

        令。

        那么數列m有如下兩個性質：

        1）這些數中的任意兩個都不模C同余。

        假設存在兩個數使得，則。

        ，矛盾。

        因此，這個數有種余數。

        2）這些數模C的余數都和C互質。

        假設其中一個數模C的余數與C有公因子r，則，矛盾。

        因此，這些數模C的余數包含於x。

        由這兩個性質可得：

       

        QED.

    使用歐拉定理，得

。

    QED.

    證明完這個引理，BSGS的步驟就很簡單了。只需要考慮的情況，其他情況周期出現。（當然，並不一定是最小正周期）對答案分塊，令，則答案x可以寫作的形式，即。對於每一個i，至多有一個j對應使等式成立，預處理將對應的j哈希掉，總復雜度。

void bsgs(int u, int v) {
    if(!u && !v) return 2;
    else if(!u) return -1;
    int m = ceil(sqrt(mod)); hash.clear();
    hash[1] = m; int p = u, q = v, iv = inv(pow(u, m));
    for(int i = 1; i < m; i++, p = 1ll * p * u % mod) hash[p] = i;
    for(int i = 0; i <= m; i++) {
        if(hash[q]) return i * m + hash[q] % m + 1; 9         q = 1ll * q * iv % mod;
    }
    puts("-1");
} 

 

 

更泛用的算法——擴展BSGS算法

    BSGS非常神奇，但只能解決A和C互質的情況。擴展BSGS基於BSGS算法，但可以解決A和C不互質的情況。

    令，則。若B不是d的倍數且非1則顯然無解。

一個簡單的同余性質

   

    原方程可以化為。令，則可遞歸處理直到A和C互質，使用BSGS算法解決即可。

    需要注意的是，原方程最后被化為了的形式。BSGS只能求解的情況，所以需要枚舉0-num-1。

 

int exbsgs(int a, int b, int p) {
    a %= p; b %= p;
    if(b == 1) return 0; int cnt = 0; ll t = 1;
    if(a == 0) return b > 1 ? -1 : b == 0 && p > 1;
    for(int g = gcd(a, p); g != 1; g = gcd(a, p)) {
        if(b % g) return -1;
        p /= g; b /= g; t = 1ll * t * (1ll * a / g % p) % p;
        cnt++; if(b == t) return cnt;
    }
    hash.clear(); int m = ceil(sqrt(p));
    ll u = b; for(int i = 0; i < m; i++, u = 1ll * u * a % p) hash[u] = i;
    ll v = t, iv = pow(a, m, p);
    for(int i = 0; i <= m; i++) {
        v = 1ll * v * iv % p;
        if(hash.count(v)) return (i + 1) * m - hash[v] + cnt;
    }
    return -1;
}