基於估計的無約束預測控制
1.引言
基本上這兩個部分都是在線性理論的框架下，利用狀態空間法來建模、求解控制律。狀態空間模型在理論分析上具有很強的優越性，但實際應用中能直接准確且經濟地獲取系統狀態並不容易。有些狀態，尤其是溫度(如火箭噴口溫度等)只能間接估計，因此我們可以使用狀態觀測器來重構一個易於實現的系統來模擬原系統的狀態。
具體的做法是，先利用原系統可以測量的變量，如系統可測輸入輸出，使得在一定條件下滿足估計的狀態與原狀態漸進等價，隨后利用觀測器重構的系統設計控制律。
觀測器收斂條件
在設計觀測器的時候，首先要判斷是否存在觀測器。這里以全維觀測器為例，觀測器重構系統與原系統維度相同。設系統可測量輸出為：
設計如下估計器：
若估計器的矩陣對（A，Cm）可測，即全部不能觀陣型穩定，則狀態觀測器存在，可以通過設計L矩陣使（A-LCm）漸進穩定來達到觀測器收斂條件。進一步，若（A，Cm）能觀，即全部模態在輸出端可測，還可以通過設計L任意配置（A-LCm）的極點來控制估計誤差的衰減速度，道理和任意配置系統極點設計狀態反饋控制器是一樣的，兩個問題是對偶關系。
2.算法設計
基於估計的算法和原算法基本相同，只是能利用的只有測量值ym和估計值。在預測過程中，用估計值作為預測系統未來狀態的起點：
得到的預測方程、控制律均與之前相同：
Ep用到的是估計值，估計值是由測量值代入估計器公式得到。而估計的狀態又帶入Yp與參考R做平方差形成MSE誤差當作待優化值，因此一定要保證L的設計良好才可以實現算法。
3.閉環系統分析
僅對穩定性進行分析，其余包括抗干擾性能和無靜差跟蹤性能與無約束預測控制相同。
考慮可測和不可測誤差，被控系統如下：
這里已經將Δu(k)帶入，注意這里是原系統，我們用由估計器設計出來的控制律作用到了原系統上（估計器只是為了模擬原系統行為來獲得原來很難獲得的狀態）。而且，在引入了估計器之后，系統變得更加復雜了，基於估計設計的控制律能否控制原系統，新的系統能否穩定都是需要分析的。
將ym(k)=Cmx(k)和控制律帶入估計器：
現在重新定義帶狀態觀測器系統的狀態向量：
則：
新的系統矩陣為：
為了滿足控制系統設計的基本要求，即名義漸進穩定。我們必須設計控制器讓一個標稱系統在控制輸入的作用下漸進穩定。標稱系統（也叫名義系統）是沒有任何外部擾動和模型失配的理想系統，與名義穩定相對的是魯棒穩定。要達到名義穩定需要讓這個新的系統矩陣的所有特征根的模長小於一。我們需要驗證這個無約束MPC閉環系統是否滿足分離原理。
我們希望能將系統滿足分離原理，這樣意味着閉環系統的極點由原系統在控制律作用下的極點和估計器的極點組成，狀態觀測器（估計器）的引入對原系統在控制律作用下的極點不影響，這樣就可以分別獨立設計兩個系統的極點。只要兩個子系統的極點都達到穩定要求，整合起來的新系統也滿足穩定要求。
按道理來講，基於觀測器反饋控制的線性系統是滿足分離原理的。之前我們得到的MPC控制律也可以看作一種狀態反饋控制律，現在來驗證一下是否真的滿足分離原理。為此，我們希望找到一個代數等價的系統，這個系統的系統矩陣是個廣義上三角矩陣，且對角線上的元素正好分別是原系統在控制律作用下的系統矩陣（參考上一篇結果）和觀測器的系統矩陣（A-LCm）。
我們知道，系統的狀態變量是人為選擇的，一個系統可以定義不同狀態。同一個系統可以有很多基於狀態空間描述的數學模型。但對於一個系統，不同的狀態之間有着明確的數學變換關系，即非奇異線性變換關系：
存在一個可逆矩陣P，滿足x1 = Px2。
因為狀態需要完全表征系統動力學行為，所以不同的狀態卻包含相同的系統信息，自然滿足線性變換的關系。反過來利用這個性質，我們可以將已知狀態變換成其他狀態，從而得到系統新的數學描述，即新的狀態空間方程。我們稱這樣新舊兩種系統（其實是系統描述）是代數等價的。兩個代數等價系統的系統參數矩陣滿足這樣的變換關系：
A2 = PA1P-1 B2 = PB1 C2=C1P-1 D2 = D1 , P為適當階的可逆矩陣。
兩個代數等價的系統具有很多共有屬性，除了能控、能觀性之外，我們需要用到的就是代數等價系統具有相同的特征多項式和極點。為此，我們定義這樣的P矩陣，對由基於估計的MPC算法得到的系統矩陣進行代數等價變形：
對原系統做相似變換：
上式中的A - BuKmpc(Sx + ICc ） 是狀態全部可以測量時預測控制閉環系統的穩定性判定矩陣而A - LCm 是狀態估計器的穩定性判定矩陣．因此， 基於估計的預測控制閉環系統的極點由狀態全部可測時的控制器極點和狀態估計器的極點組成．也就是說， 對無約束MPC 閉環系統來說， 分離原理成立， 狀態反饋和估計器可以獨設計．因此， 我們可以得到結論：基於估計的無約束MPC 閉環系統名義漸近穩定， 當且僅當狀態反饋MPC 穩定和狀態估計器穩定。