引言
樹作為一種特殊的圖，具有很多良好的性質，樹的直徑便是其中之一。
定義
樹的直徑有許多相近的定義。但由於沒有找到比較權威的定義，就用自己的語言大概表述一下吧。
對於一棵帶非負邊權的樹，定義兩點間距離為兩點間路徑的邊權之和，樹的直徑就是距離最遠的兩點之間的路徑，同時也稱該距離為樹的直徑。
簡而言之，樹的直徑就是樹上最長的簡單路徑。
性質
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直徑兩端點一定是兩個葉子節點。
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距離任意點最遠的點一定是直徑的一個端點。
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對於兩棵樹，如果第一棵樹直徑兩端點為(u,v)，第二棵樹直徑兩端點為(x,y)，用一條邊將兩棵樹連接，那么新樹的直徑一定是u,v,x,y中的兩個點。
性質證明
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顯然成立，證明從略。
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情況一：點a在直徑\((u,v)\)上。若存在點b使得$ dis(a,b) \gt dis (a,u) \text{並且} dis(a,b) \gt dis (a,v)$ ，則有 \(dis(b,v) \text{或} dis(b,u) \gt dis(u,v)\)，即\((u,v)\)不是該樹的直徑，矛盾。
情況二：點a不在直徑\((u,v)\)上。若存在點b使得$ dis(a,b) \gt dis (a,u) \text{並且} dis(a,b) \gt dis (a,v)$ ，不妨取直徑的其中一個端點\(u\)分析。
分析圖如下（靈魂畫手上線）：
圖片注：\(u\),\(v\) 為直徑端點，\(c\)為\((a,b)\text{與}(a,u)\)交點，\(d\)為\((a,u)\text{與}(v,u)\)交點。
由於\(dis(a,b) \gt dis (a,u)\) ,可知 \(dis(c,b) \gt dis (c,u)\)，進而得到\(dis(d,b) \gt dis (d,u)\)，最終可知\(dis(v,b) \gt dis (v,u)\)，即\((u,v)\)不是該樹的直徑，矛盾。
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如果新樹直徑不是原來兩棵樹中一棵的直徑，那么新直徑一定經過兩棵樹的連接邊，新直徑在原來每棵樹中的部分一定是距離連接點最遠的點，即一定是原樹直徑的一個端點。
求解算法
共有兩種時間復雜度為 \(O(N)\) 的算法，一種是dp，另一種是貪心算法。
方法一：動態規划
根據定義，我們只需要求出最大鏈長即可。
首先將該樹轉化為有根樹。設\(f[i]\)為以節點\(i\)為根的子樹的最大深度，有狀態轉移方程$$f[i] = \max_{j \in s(i)}f[j]+1 \quad \text{where \(s(i)\) is the set of the son nodes of node i.}$$那么在該子樹中經過節點\(i\)的最長鏈長度為 \(f[i]\) 與次大 \(f[j]\) （缺省值為0）之和。在整個遍歷過程中記錄最大鏈長即可。
方法二：貪心算法
根據樹的直徑性質2，我們只需要任取一點\(s\)開始DFS（或BFS）即可找到距離該點的最遠點，即直徑端點之一，記為\(u\)。同樣的，從節點\(u\)開始我們便可以找到另一個端點\(v\)，過程中記錄距離即可得到樹的直徑。
相較於方法一，方法二可以更方便地找到直徑的端點，進而得到直徑的具體路徑。
Code
暫略