求樹的直徑算法

標簽： 圖論——樹的直徑
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樹的直徑

樹的直徑是樹上的最長路

求法：2遍\(Dfs(Bfs)\)

沒錯，真的這么簡單......

1. 先隨便找個點i開始\(Dfs\)，然后找到一條最長路徑(假設終點是\(u\))
2. 然后從u開始再一次\(Dfs\)，再找到一條最長路徑(假設終點是\(v\))，\((u,v)\)就是樹的直徑了......
   PS:樹的直徑可以有多條(想想定義就知道)

證明：為什么呢？

假設樹的直徑是\((u,v)\)，第一次\(Dfs\)找到\((i,j)\)
如果我們\(Dfs\)找到了樹的直徑的一端\((u/v)\)，那么第二次就一定可以找到樹的直徑對吧
那么證明轉化成了第一次\(Dfs\)是否找到了樹的直徑的一端\((u/v)\)
PS:建議自己手動畫棵樹來一邊看着證明 效果更佳

首先假設i在最長路徑上：

• 反證法：
• 如果找到的(i,j)不是(i,u)，那么(i,j)一定可以和(i,v)拼成另一條更長路(j,v)
  （因為(i,j)>=(i,u)而等於正印證了上面講到的多條直徑)，所以與假設(u,v)是最長路不符，那么猜想的方法成立

如果i不在最長路上呢？

1. 首先\(i\)肯定可以和最長路上的一個點\(k\)（從\(i\)到最長路最先遇到的點）連通對吧
2. 我們假設\(u\)是最長路距離\(k\)較遠的一個末端，那么從\(i\)找出去的最長路一定會到\(u\)

• 證明：如果(i,j)不是(i,u)（即(i,j)>(i,u)），那么(i,j)+(i,k)>(j,u)，即我們找到了另一條(j,k)>(j,u)，那么說明我們假設的直徑(u,v)又可以被更長的(k,v)更新，假設不成立，那么猜想成立，證明完畢

總結一下

綜上所述，兩遍\(Dfs(Bfs)\)可以找到樹的直徑
而樹的直徑在很多圖論題里面是很有用的，這種方法就保證了我們的時間復雜度O(n)
為我們其他計算提供了更優的復雜度空間。。。
\(yep\)

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