1.3求根之牛頓迭代法

本文轉載自查看原文 2019-02-19 13:38 2459 Python-數學篇之計算方法

前言

今天我們講的是具有收斂速度快，能求重根的解方程之法，牛頓迭代法。

（一）牛頓迭代法的分析

1.定義

迭代公式如下：

\[x_{k+1} = x_k-\frac{f(x_k)}{f\prime(x_k)} (k=0,1,2...) \]

迭代函數是：

\[\varphi(x) = x_k-\frac{f(x_k)}{f\prime(x_k)} \]

由於$ \varphi(x)= x_k-\frac{f(x_k)}{f\prime(x_k)}$ 與原方程$f(x)=0$ 等價。

當$k\rightarrow \infty$ 時，$x_k$就是$f(x)=0$的近似解。

該方法稱為牛頓迭代方法。

2.條件

f(x)函數是連續可導函數。

f(x)在局部收斂，當$f(x) \times f\prime\prime(x)>0$時，局部收斂。

注意：牛頓迭代法的局部收斂性，很依賴於初始值的取法。

也就是說，初始值的選取，決定該區域的收斂性。

3.思想

其總思想還是迭代的方法，只是其迭代公式是由泰勒展開得來的，其利用的是：用切線方程與x軸的交點來近似f(x)與x軸的交點。

4.誤差

任然用的是迭代法的誤差，前后兩次x的差的絕對值與我們給的精度比較。

（二）代碼實現

1.算法流程圖

牛頓迭代法.jpg

2.源代碼

feval()函數

def feval(string, a):
    """
        根據值來計算數學表達式。
    :param string: 含有x未知數的數學表達式
    :param a: 自變量x的具體數值
    :return:  數學表達式的計算結果
    """
    count = string.count("x")
    string = string.replace('x', '%f')
    t = (a, ) * count
    result = eval(string % t)
    return result

float_num()函數

def flaot_num(x, r):
    """
        處理保留幾位小數點的函數,四舍五入法
    :param x: 原始數據
    :param r: 誤差
    :return: 處理后的數據
    """
    # 處理小數點的位數
    r = str(r)
    if "." in r:
        dian = r.index(".")
        size = len(r[dian + 1:])
        result = round(x, size)
        return result
    elif "e" in r:
        dian = r.index("e")
        size = int(r[dian+2:])
        result = round(x, size)
        return result
    else:
        result = round(x, 0)
        return result

牛頓迭代法

"""
    牛頓迭代法，迭代的思想，不斷逼近。
"""
# 求導數需要的庫
import sympy as sp
from my_math.func_math import feval, flaot_num


def new_fun(expr, x0, r):
    """
        牛頓迭代法求解方程的根
    :param expr: 代函數表達式
    :param x0: 初始值
    :param r: 誤差
    :return: 計算的結果值
    """
    x = sp.Symbol('x')
    k = 0
    # 一階導與二階導
    fx_1 = str(sp.diff(expr))
    fx_2 = str(sp.diff(fx_1))
    # 迭代公式
    y = "x-" + "("+expr + ")/(" + fx_1 + ")"

    # 判斷收斂性
    if feval(expr, x0)*feval(fx_2, x0) <= 0:
        print("函數處於該點區域不收斂")
        result = None
    else:
        x1 = feval(y, x0)
        x2 = feval(y, x1)

        while abs(x2-x1) > r:
            x1 = feval(y, x2)
            x2 = feval(y, x1)
            k += 1
            print("次數：", k)
            print("x1:", x1)
            print("x2:", x2)

        result = flaot_num(x2, r)
        print("=" * 30)
        print("原始的數據是", x2)
        print("最后的結果是：", result)
    return result


if __name__ == '__main__':
    new_fun("x**4-4*x**2+4", 2, 10**-5)