[Python3 練習] 006 漢諾塔2 非遞歸解法

題目：漢諾塔 II

• 接上一篇 [Python3 練習] 005 漢諾塔1 遞歸解法
• 這次不使用遞歸
• 不限定層數

(1) 解決方式

• 利用“二進制”

(2) 具體說明

• 統一起見
  • 我把左、中、右三根柱子依次稱為 A 塔、B 塔、C 塔
  • 金片默認都在 A 塔
  • n 片金片從小到大依次編號為 0 號、1 號、……、n-1 號

1) 舉個“栗子”

• 假設有一個 4 層高的漢諾塔，設初始值為 0000₍₂₎
• 按 "8"、"4"、"2"、"1" 稱呼二進制的各位
• "8"位、"4"位、"2"位、"1"位依次對應 3 號金片、2 號金片、1號金片、0 號金片
• 如圖

---

• 開始累加，每次加 1
• 0000₍₂₎ -> 0001₍₂₎
• "1"位由 0 變 1，則將 0 號金片右移，即將 0 號金片由 A 塔移至 B塔
  • 補充：若要將 C 塔上的金片右移，則移至 A 塔，三個塔是循環的
• 如圖

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• 0001₍₂₎ -> 0010₍₂₎
• 產生進位；進到哪位，則移動該位對應的金片
• 此時進位至"2"位，則右移 1 號金片
• 右移 1 號金片時，因為 1 號金片不能放在 B 塔的 0 號金片上方，所以繼續向右走，C 塔正好符合要求
• 如圖

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• 0010₍₂₎ -> 0011₍₂₎
• "1"位由 0 變 1，則將 B 塔的 0 號金片右移至 C 塔
• 如圖

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• 0011₍₂₎ -> 0100₍₂₎
• 產生進位，此時進至“4”位，則將 A 塔上的 2 號金片右移至 B 塔
• 如圖

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• 0100₍₂₎ -> 0101₍₂₎
• 個位由 0 變 1，則將 C 塔的 0 號金片右移至 A 塔
• 如圖

……

• 按這個方法進行下去，當數字變成 "1111" 時，A 塔的 4 片金片就都在 C 塔上了

2) 一些說明

• 此“二進制”方法可以解決漢諾塔，但奇數金片與偶數金片在結果上有些許不同

  • 按照上面的規則，奇數金片最終會移至 B 塔，偶數金片最終會移至 C 塔
  • 可借高數中“輪換對稱性”的思想，在面對奇數金片時，把原來的 B 塔看成 C 塔，把原來的 C 塔看成 B 塔

• 上面的操作有 2 個規律

  • 規律一
    • 因為每走一步，數值加 1，所以該二進制數即為步數
    • 該二進制數末尾 0 的個數對應要移動的金片編號
      • 沒有 0，即為 0 個 0，對應 0 號金片；可回顧圖 "0001"、"0011"、"0101"
      • 1 個 0，對應 1 號金片；可回顧圖 "0010"
      • 2 個 0，對應 2 號金片；可回顧圖 "0100"
      • 依此類推
  • 規律二
    • 編號為 0、2、4……的金片，總是進行右移操作
    • 編號為 1、3、5……的金片，總是進行左移操作
      • 三根柱子，右移 2 格即為左移 1 格

3) 計算移動次數

• 按遞歸的思路，漢諾塔可分成三大步
  • 將 A 塔的上面 n-1 片金片移至 B 塔
  • 將 A 塔剩余的 1 片金片移至 C 塔
  • 將 B 塔的 n-1 片金片移至 C 塔
• 設 f(n) 為 n 片金片完成移動需要的最少次數，則 f(n) = f(n-1) + 1 + f(n-1)，即 f(n) = 2f(n-1) + 1
  • 若只有 1 片金片，則 f(1) = 1
  • 若有 2 片金片，則 f(2) = 3
  • 若有 3 片金片，則 f(3) = 7
  • 照此規律，可假設 f(n) = 2ⁿ - 1
• 莫名想到線代中用的“第一類數學歸納法”，我獻丑證一下，算是溫故知新
  • 證明 f(n) = 2ⁿ - 1 成立：
  • 當 n = 1 時，f(1) = 2¹ - 1 = 1，成立
  • 當 n = k 時，設 f(k) = 2^k - 1 成立
  • => 當 n = k + 1 時，f(k+1) = 2f(k) + 1 = 2 * (2^k - 1) + 1 = 2^k+1 - 1，滿足假設
  • => 漢諾塔的移動次數為 f(n) = 2ⁿ - 1，證畢

(3) 程序

1) 代碼

# 不使用遞歸

def hanoi(n):
    tower_belong = [0] * n  # 用列表開辟 n 個空間，用於存放 n 個金片各自的編號，編號對應塔號
                            # 金片移動，編號對應更改
    if n % 2 == 0:          # 金片數量不同，塔的排序不同
        tower_name = ['A', 'B', 'C']    # 若 n 為偶數，最終所有金片恰好能移到右塔
    else:
        tower_name = ['A', 'C', 'B']    # 若 n 為奇數，最終所有金片會移到中塔
                                        # 用“輪換對稱”將 B、C 兩塔互換名字，以實現“負負得正”
    for step in range(1, 2**n):         # n 片金片最少需要移動 2^n - 1 次
        bin_step = bin(step)            # 求得 step 的二進制數值
        gold_num = len(bin_step) - bin_step.rfind('1') - 1
        # 計算 step 末尾 0 的個數，得到金片編號；上面說的“規律一”
        # 如 step = 0b0001，則 step 末尾 0 的個數為 0，表示此刻應移動 0 號金片
        # 如 step = 0b0100，則 step 末尾 0 的個數為 2，表示此刻應移動 2 號金片，依此類推
        # rfind 是從 0 開始計數，所以再減個 1
        
        print(f"第 {step:2} 步：移動 {str(gold_num)} 號金片，從 {tower_name[tower_belong[gold_num]]} 塔到", end=' ')             # 移出金片的塔
        if gold_num % 2 == 0:                                   # 若 num 為 偶數，則右移
            tower_belong[gold_num] = (tower_belong[gold_num] + 1) % 3
            # 若從 C 塔右移，則又回到了 A 塔
        else:                                                   # 若 num 為奇數，則左移
            tower_belong[gold_num] = (tower_belong[gold_num] + 2) % 3
            # 若從 A 塔左移，則又去到了 C 塔
        print(tower_name[tower_belong[gold_num]], '塔')         # 移入金片的塔

# 清爽、無注釋版

def hanoi(n):
    tower_belong = [0] * n
    if n % 2 == 0:
        tower_name = ['A', 'B', 'C']
    else:
        tower_name = ['A', 'C', 'B']
    for step in range(1, 2**n):
        bin_step = bin(step)
        gold_num = len(bin_step) - bin_step.rfind('1') - 1
        
        print(f"第 {step:2} 步：移動 {str(gold_num)} 號金片，從 {tower_name[tower_belong[gold_num]]} 塔到", end=' ')
        if gold_num % 2 == 0:
            tower_belong[gold_num] = (tower_belong[gold_num] + 1) % 3
        else:
            tower_belong[gold_num] = (tower_belong[gold_num] + 2) % 3
        print(tower_name[tower_belong[gold_num]], '塔')

2) 運行情況

• 3 層漢諾塔

• 4 層漢諾塔