一時興起，就有了這篇博客。本人也學識淺薄，姑且講一下我對於圓反演的一些皮毛之見。
首先我們要明白反演是什么：
反演是一種基本的幾何變換。給定一個平面上的一個反演中心$O$和一個常數$k$，對於任意一個點$A(A \neq O)$，我們可以找到一個在直線$OA$上的點$A'$，使得線段$OA,OA'$的有向長度的乘積為$k$，那$A'$就是$A$關於$O$的反演點，可以證明這樣的$A'$是唯一的。我們稱$A->A'$的這種變換為反演，我們也可以把它看成一種映射，而且是雙射。
點有關於圓的反演：
給定一個平面上的一個圓，其圓心為$O$，半徑為$r_0$，對於任意一個點$A(A \neq O)$，我們同樣可以找到一個在直線$OA$上的點$A'$，使得線段$OA, OA'$的有向長度之積為常數${r_0}^2$，那$A'$就是$A$關於圓$O$的反演點，同樣這樣的$A'$是唯一的。
接下來我們討論的問題都將圍繞一個反演中心展開，所以我們用反演變換$f$來表示關於圓$O$的反演，這里我們有$f(A) = A'$。
直線關於圓的反演：
直線$A$關於圓$O$的反演$A'$就是$\{ f(P) | P \in A \}$，通俗地講就是把直線上的點都做反演后點的集合，很明顯這也是一個雙射。
我們首先說一下結論：
- 當直線$A$過點$O$時，$A' = A$。
- 當直線$A$不過點$O$時，$A'$是一個圓，且$A'$始終過點$O$。當$A$與圓$O$相交時，$A'$與圓$O$相交；當$A$與圓$O$相切時，$A'$內切與圓$O$；當$A$與圓$O$相離時，$A'$內含與圓$O$。
第一句話比較簡單，不做累述，接下來主要證明第二句話，並會給出$A'$的具體的位置。（不會畫圖，大家自己腦補）
方便起見，我們假設圓$O$是一個單位圓（這個並沒有關系，圖是可以縮放的），直線$A$為$x = a(a \neq 0)$。
設$A$上任意一個的點$P(a, y_1)$，$dis(P, O) = \sqrt{ a^2 + {y_1}^2 }$，由相似得$P' = f(P) = ( \frac{a}{a^2 + {y_1}^2} , \frac{y_1}{a^2 + {y_1}^2} )$。
這里點$P'$的軌跡中只有$y_1$一個變量。我們要證明$P'$的軌跡是一個圓，即我們想要得到$P'(x,y)$中$x,y$的關系式。
根據$P'$的坐標有：$(1) x = \frac{a}{a^2 + {y_1}^2} \qquad (2) y_1 x = a y $
聯立$(1)(2)$消掉$y_1$后即可得：$ x^2 - \frac{1}{a}x + y^2 = 0 $
可以寫成圓的標准方程：$ (x - \frac{1}{2a})^2 + y^2 = (\frac{1}{2a})^2 $
所以可以知道$A'$的圓心位於$(\frac{1}{2a}, 0)$，半徑為$\frac{1}{2a}$，所以說$A'$始終過點$O$。很容易看出，當$a = 1$時，直線$A$與圓$O$相切，此時圓$A'$也內切與圓$O$；其他兩種情況也可以得到證明。
圓有關於圓的反演：
圓$A$關於圓$O$的反演也定義為$\{ f(P) | P \in A \}$。
我們先闡明結論：
- 當圓$A$過點$O$時，$A'$會退化成一條直線，可以看做上一部分直線關於圓的反演的逆變換。
- 當圓$A$不過點$O$時，$A'$是一個圓。當$A$與圓$O$相交時，$A'$也與圓$O$相交；當$A$與圓$O$外（內）切時，$A'$與圓$O$內（外）切；當$A$與圓$O$相離（內含）時，$A'$與圓$O$內含（相離）。
第一句話我們已經討論過了就不做累述。我們仿照上一部分，對此第二句話進行簡要證明。
同樣假設圓$O$是一個單位圓，圓$A$的圓心在$(a, 0)$，半徑是$r(r \neq a)$。
設$A$上的任意一點$P(x_1, y_1)$，故有方程：$(1) (x_1 - a)^2 + {y_1}^2 = r^2 $
同樣可以得到$P' = f(P) = (\frac{x_1}{ {x_1}^2 + {y_1}^2 }, \frac{y_1}{ {x_1}^2 + {y_1}^2 } )$
根據$P'$坐標得到方程：$ (2) x = \frac{x_1}{ {x_1}^2 + {y_1}^2 } \qquad (3) y_1 x = x_1 x $
聯立方程$(1)(2)(3)$消去$x_1,y_1$可以得到一個圓的標准方程：$(x + \frac{a}{r^2 - a^2})^2 + y^2 = (\frac{r}{r^2 - a^2})^2$
顯然$A'$是一個圓，圓心和半徑都能知道了。讀者們可以自行驗證是否滿足結論中第二句話所述的三種情況。
圓反演的性質與應用：
有幾個需要知道的事實：
- 兩對不共線的互反點四點共圓。（證明可以先得到相似，再得到對角互補）
- 兩個外切的圓在分別反演后仍外切（如果切點恰好是反演中心，則反演后為兩平行線），對於內切、相交、相離、內含的情況也是一樣。這個同樣適用於圓和直線的關系上。（因為原有的交點在反演后仍是交點，由於反演是可逆的，不會產生額外的交點）
關於圓的反演變換是幾何中一個常用技巧，其通常可以把圓上的問題轉化成直線上的問題，在多圓問題中尤顯其強大之處。
$\star$ 一道例題。給定兩個圓$A,B$和一個不在$A,B$上的點$P$，求出所有過點$P$的圓，滿足與$A,B$分別相切。
直接做好像沒什么辦法，我們考慮利用反演變換。以$P$為圓心任意半徑做一個圓，然后分別做出$A,B$關於圓$P$的反演$A',B'$，可以得到$A',B'$的公切線，把公切線反演回去就是所求的圓。做法很簡單，原因也很簡單，由於要求的是過點$P$的圓，相當於是要求反演后的一條直線，並且這條直線要與反演后的$A,B$相切。
參考資料：
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知乎zdr0的專欄 https://zhuanlan.zhihu.com/p/55834403