高精度模板(綜合篇)

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在這里，我們約定，能用int表示的數據視為單精度，否則為高精度。所有函數的設計均采用帶返回值的形式。

本文包含

1.高精度加法

2.高精度減法

3.高精度乘法

1）高精度乘高精度的朴素算法

2）高精度乘高精度FFT優化算法

3）高精度乘單精度

4.高精度除法

1）高精度除高精度

2）高精度除單精度

5.高精度取模

1）高精度對高精度取模

2）高精度對單精度取模

6.高精度階乘

7.高精度冪

8.高精度GCD

9.高精度進制轉換

10.高精度求平方根

下面切入正題

1.高精度加法

傳入參數約定：傳入參數均為string類型，返回值為string類型

算法思想：倒置相加再還原。

算法復雜度：o(n)

string add(string a,string b)//只限兩個非負整數相加
{
    const int L=1e5;
    string ans;
    int na[L]={0},nb[L]={0};
    int la=a.size(),lb=b.size();
    for(int i=0;i<la;i++) na[la-1-i]=a[i]-'0';
    for(int i=0;i<lb;i++) nb[lb-1-i]=b[i]-'0';
    int lmax=la>lb?la:lb;
    for(int i=0;i<lmax;i++) na[i]+=nb[i],na[i+1]+=na[i]/10,na[i]%=10;
    if(na[lmax]) lmax++;
    for(int i=lmax-1;i>=0;i--) ans+=na[i]+'0';
    return ans;
}

 

2.高精度減法

傳入參數約定：傳入參數均為string類型，返回值為string類型

算法思想：倒置相減再還原。

算法復雜度：o(n)

string sub(string a,string b)//只限大的非負整數減小的非負整數
{
    const int L=1e5;
    string ans;
    int na[L]={0},nb[L]={0};
    int la=a.size(),lb=b.size();
    for(int i=0;i<la;i++) na[la-1-i]=a[i]-'0';
    for(int i=0;i<lb;i++) nb[lb-1-i]=b[i]-'0';
    int lmax=la>lb?la:lb;
    for(int i=0;i<lmax;i++)
    {
        na[i]-=nb[i];
        if(na[i]<0) na[i]+=10,na[i+1]--;
    }
    while(!na[--lmax]&&lmax>0)  ;lmax++;
    for(int i=lmax-1;i>=0;i--) ans+=na[i]+'0';
    return ans;
}

 

3.高精度乘法

1）高精度乘高精度的朴素算法

 

傳入參數約定：傳入參數均為string類型，返回值為string類型

算法思想：倒置相乘，然后統一處理進位，再還原。

算法復雜度：o(n^2)

string mul(string a,string b)//高精度乘法a,b,均為非負整數
{
    const int L=1e5;
    string s;
    int na[L],nb[L],nc[L],La=a.size(),Lb=b.size();//na存儲被乘數，nb存儲乘數，nc存儲積
    fill(na,na+L,0);fill(nb,nb+L,0);fill(nc,nc+L,0);//將na,nb,nc都置為0
    for(int i=La-1;i>=0;i--) na[La-i]=a[i]-'0';//將字符串表示的大整形數轉成i整形數組表示的大整形數
    for(int i=Lb-1;i>=0;i--) nb[Lb-i]=b[i]-'0';
    for(int i=1;i<=La;i++)
        for(int j=1;j<=Lb;j++)
        nc[i+j-1]+=na[i]*nb[j];//a的第i位乘以b的第j位為積的第i+j-1位（先不考慮進位）
    for(int i=1;i<=La+Lb;i++)
        nc[i+1]+=nc[i]/10,nc[i]%=10;//統一處理進位
    if(nc[La+Lb]) s+=nc[La+Lb]+'0';//判斷第i+j位上的數字是不是0
    for(int i=La+Lb-1;i>=1;i--)
        s+=nc[i]+'0';//將整形數組轉成字符串
    return s;
}

2）高精度乘高精度FFT優化算法

 

傳入參數約定：傳入參數均為string類型，返回值為string類型

算法思想：將兩個高精度乘數每個數位上的數視為多項式對應的系數，用o(n*log(n))的復雜度轉成點值形式，再利用o(n)的復雜度相乘，最后對點值進行差值，用o(n*log(n))的復雜度還原成多項式的形式，即原來的形式。

算法復雜度：o(n*log(n))

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
#include <vector>
using namespace std;
#define L(x) (1 << (x))
const double PI = acos(-1.0);
const int Maxn = 133015;
double ax[Maxn], ay[Maxn], bx[Maxn], by[Maxn];
char sa[Maxn/2],sb[Maxn/2];
int sum[Maxn];
int x1[Maxn],x2[Maxn];
int revv(int x, int bits)
{
    int ret = 0;
    for (int i = 0; i < bits; i++)
    {
        ret <<= 1;
        ret |= x & 1;
        x >>= 1;
    }
    return ret;
}
void fft(double * a, double * b, int n, bool rev)
{
    int bits = 0;
    while (1 << bits < n) ++bits;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        int j = revv(i, bits);
        if (i < j)
            swap(a[i], a[j]), swap(b[i], b[j]);
    }
    for (int len = 2; len <= n; len <<= 1)
    {
        int half = len >> 1;
        double wmx = cos(2 * PI / len), wmy = sin(2 * PI / len);
        if (rev) wmy = -wmy;
        for (int i = 0; i < n; i += len)
        {
            double wx = 1, wy = 0;
            for (int j = 0; j < half; j++)
            {
                double cx = a[i + j], cy = b[i + j];
                double dx = a[i + j + half], dy = b[i + j + half];
                double ex = dx * wx - dy * wy, ey = dx * wy + dy * wx;
                a[i + j] = cx + ex, b[i + j] = cy + ey;
                a[i + j + half] = cx - ex, b[i + j + half] = cy - ey;
                double wnx = wx * wmx - wy * wmy, wny = wx * wmy + wy * wmx;
                wx = wnx, wy = wny;
            }
        }
    }
    if (rev)
    {
        for (int i = 0; i < n; i++)
            a[i] /= n, b[i] /= n;
    }
}
int solve(int a[],int na,int b[],int nb,int ans[])
{
    int len = max(na, nb), ln;
    for(ln=0; L(ln)<len; ++ln);
    len=L(++ln);
    for (int i = 0; i < len ; ++i)
    {
        if (i >= na) ax[i] = 0, ay[i] =0;
        else ax[i] = a[i], ay[i] = 0;
    }
    fft(ax, ay, len, 0);
    for (int i = 0; i < len; ++i)
    {
        if (i >= nb) bx[i] = 0, by[i] = 0;
        else bx[i] = b[i], by[i] = 0;
    }
    fft(bx, by, len, 0);
    for (int i = 0; i < len; ++i)
    {
        double cx = ax[i] * bx[i] - ay[i] * by[i];
        double cy = ax[i] * by[i] + ay[i] * bx[i];
        ax[i] = cx, ay[i] = cy;
    }
    fft(ax, ay, len, 1);
    for (int i = 0; i < len; ++i)
        ans[i] = (int)(ax[i] + 0.5);
    return len;
}
string mul(string sa,string sb)
{
    int l1,l2,l;
    int i;
    string ans;
    memset(sum, 0, sizeof(sum));
    l1 = sa.size();
    l2 = sb.size();
    for(i = 0; i < l1; i++)
        x1[i] = sa[l1 - i - 1]-'0';
    for(i = 0; i < l2; i++)
        x2[i] = sb[l2-i-1]-'0';
    l = solve(x1, l1, x2, l2, sum);
    for(i = 0; i<l || sum[i] >= 10; i++) // 進位
    {
        sum[i + 1] += sum[i] / 10;
        sum[i] %= 10;
    }
    l = i;
    while(sum[l] <= 0 && l>0)    l--; // 檢索最高位
    for(i = l; i >= 0; i--)    ans+=sum[i] + '0'; // 倒序輸出
    return ans;
}
int main()
{
    cin.sync_with_stdio(false);
    string a,b;
    while(cin>>a>>b) cout<<mul(a,b)<<endl;
    return 0;
}

3）高精度乘單精度

 

傳入參數約定：傳入第一個參數為string類型，，第二個參數為int型，返回值為string類型

算法思想：倒置相乘，然后統一處理進位，再還原。

算法復雜度：o(n)

string mul(string a,int b)//高精度a乘單精度b
{
    const int L=100005;
    int na[L];
    string ans;
    int La=a.size();
    fill(na,na+L,0);
    for(int i=La-1;i>=0;i--) na[La-i-1]=a[i]-'0';
    int w=0;
    for(int i=0;i<La;i++) na[i]=na[i]*b+w,w=na[i]/10,na[i]=na[i]%10;
    while(w) na[La++]=w%10,w/=10;
    La--;
    while(La>=0) ans+=na[La--]+'0';
    return ans;
}

4.高精度除法

1）高精度除高精度

 

傳入參數約定：傳入第一第二個參數均為string類型，第三個為int型，返回值為string類型

算法思想：倒置，試商，高精度減法。

算法復雜度：o(n^2)

int sub(int *a,int *b,int La,int Lb)
{
    if(La<Lb) return -1;//如果a小於b，則返回-1
    if(La==Lb)
    {
        for(int i=La-1;i>=0;i--)
            if(a[i]>b[i]) break;
            else if(a[i]<b[i]) return -1;//如果a小於b，則返回-1
 
    }
    for(int i=0;i<La;i++)//高精度減法
    {
        a[i]-=b[i];
        if(a[i]<0) a[i]+=10,a[i+1]--;
    }
    for(int i=La-1;i>=0;i--)
        if(a[i]) return i+1;//返回差的位數
    return 0;//返回差的位數
 
}
string div(string n1,string n2,int nn)
//n1,n2是字符串表示的被除數，除數,nn是選擇返回商還是余數
{
    const int L=1e5;
    string s,v;//s存商,v存余數
     int a[L],b[L],r[L],La=n1.size(),Lb=n2.size(),i,tp=La;
     //a，b是整形數組表示被除數，除數，tp保存被除數的長度
     fill(a,a+L,0);fill(b,b+L,0);fill(r,r+L,0);//數組元素都置為0
     for(i=La-1;i>=0;i--) a[La-1-i]=n1[i]-'0';
     for(i=Lb-1;i>=0;i--) b[Lb-1-i]=n2[i]-'0';
     if(La<Lb || (La==Lb && n1<n2)) {
            //cout<<0<<endl;
     return n1;}//如果a<b,則商為0，余數為被除數
     int t=La-Lb;//除被數和除數的位數之差
     for(int i=La-1;i>=0;i--)//將除數擴大10^t倍
        if(i>=t) b[i]=b[i-t];
        else b[i]=0;
     Lb=La;
     for(int j=0;j<=t;j++)
     {
         int temp;
         while((temp=sub(a,b+j,La,Lb-j))>=0)//如果被除數比除數大繼續減
         {
             La=temp;
             r[t-j]++;
         }
     }
     for(i=0;i<L-10;i++) r[i+1]+=r[i]/10,r[i]%=10;//統一處理進位
     while(!r[i]) i--;//將整形數組表示的商轉化成字符串表示的
     while(i>=0) s+=r[i--]+'0';
     //cout<<s<<endl;
     i=tp;
     while(!a[i]) i--;//將整形數組表示的余數轉化成字符串表示的</span>
     while(i>=0) v+=a[i--]+'0';
     if(v.empty()) v="0";
     //cout<<v<<endl;
     if(nn==1) return s;//返回商 
     if(nn==2) return v;//返回余數 
}

 

2）高精度除單精度

 

傳入參數約定：傳入第一參數為string類型，第二個為int型，返回值為string類型

算法思想：模擬手工除法。

算法復雜度：o(n)

string div(string a,int b)//高精度a除以單精度b
{
    string r,ans;
    int d=0;
    if(a=="0") return a;//特判
    for(int i=0;i<a.size();i++)
    {
            r+=(d*10+a[i]-'0')/b+'0';//求出商
            d=(d*10+(a[i]-'0'))%b;//求出余數
    }
    int p=0;
    for(int i=0;i<r.size();i++)
    if(r[i]!='0') {p=i;break;}
    return r.substr(p);
}

 

5.高精度取模

1）高精度對高精度取模(以在高精度除高精度中實現，此處不再贅述)

2）高精度對單精度取模

 

傳入參數約定：傳入第一參數為string類型，第二個為int型，返回值為string類型

算法思想：利用(a+b)%c=a%c+b%c。

算法復雜度：o(n)

int mod(string a,int b)//高精度a除以單精度b
{
    int d=0;
    for(int i=0;i<a.size();i++) d=(d*10+(a[i]-'0'))%b;//求出余數
    return d;
}

6.高精度階乘

傳入參數約定：傳入參數為int型，返回值為string類型

算法思想：高精度乘單精度的簡單運用。

算法復雜度：o(n^2)

string fac(int n)
{
    const int L=100005;
    int a[L];
    string ans;
    if(n==0) return "1";
    fill(a,a+L,0);
    int s=0,m=n;
    while(m) a[++s]=m%10,m/=10;
    for(int i=n-1;i>=2;i--)
    {
        int w=0;
        for(int j=1;j<=s;j++) a[j]=a[j]*i+w,w=a[j]/10,a[j]=a[j]%10;
        while(w) a[++s]=w%10,w/=10;
    }
    while(!a[s]) s--;
    while(s>=1) ans+=a[s--]+'0';
    return ans;
}

7.高精度冪

傳入參數約定：傳入第一參數為string類型，第二個為int型，返回值為string類型

算法思想：FFT高精乘+二分求冪。

算法復雜度：o(n*log(n)*log(m))

#define L(x) (1 << (x))
const double PI = acos(-1.0);
const int Maxn = 133015;
double ax[Maxn], ay[Maxn], bx[Maxn], by[Maxn];
char sa[Maxn/2],sb[Maxn/2];
int sum[Maxn];
int x1[Maxn],x2[Maxn];
int revv(int x, int bits)
{
    int ret = 0;
    for (int i = 0; i < bits; i++)
    {
        ret <<= 1;
        ret |= x & 1;
        x >>= 1;
    }
    return ret;
}
void fft(double * a, double * b, int n, bool rev)
{
    int bits = 0;
    while (1 << bits < n) ++bits;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        int j = revv(i, bits);
        if (i < j)
            swap(a[i], a[j]), swap(b[i], b[j]);
    }
    for (int len = 2; len <= n; len <<= 1)
    {
        int half = len >> 1;
        double wmx = cos(2 * PI / len), wmy = sin(2 * PI / len);
        if (rev) wmy = -wmy;
        for (int i = 0; i < n; i += len)
        {
            double wx = 1, wy = 0;
            for (int j = 0; j < half; j++)
            {
                double cx = a[i + j], cy = b[i + j];
                double dx = a[i + j + half], dy = b[i + j + half];
                double ex = dx * wx - dy * wy, ey = dx * wy + dy * wx;
                a[i + j] = cx + ex, b[i + j] = cy + ey;
                a[i + j + half] = cx - ex, b[i + j + half] = cy - ey;
                double wnx = wx * wmx - wy * wmy, wny = wx * wmy + wy * wmx;
                wx = wnx, wy = wny;
            }
        }
    }
    if (rev)
    {
        for (int i = 0; i < n; i++)
            a[i] /= n, b[i] /= n;
    }
}
int solve(int a[],int na,int b[],int nb,int ans[])
{
    int len = max(na, nb), ln;
    for(ln=0; L(ln)<len; ++ln);
    len=L(++ln);
    for (int i = 0; i < len ; ++i)
    {
        if (i >= na) ax[i] = 0, ay[i] =0;
        else ax[i] = a[i], ay[i] = 0;
    }
    fft(ax, ay, len, 0);
    for (int i = 0; i < len; ++i)
    {
        if (i >= nb) bx[i] = 0, by[i] = 0;
        else bx[i] = b[i], by[i] = 0;
    }
    fft(bx, by, len, 0);
    for (int i = 0; i < len; ++i)
    {
        double cx = ax[i] * bx[i] - ay[i] * by[i];
        double cy = ax[i] * by[i] + ay[i] * bx[i];
        ax[i] = cx, ay[i] = cy;
    }
    fft(ax, ay, len, 1);
    for (int i = 0; i < len; ++i)
        ans[i] = (int)(ax[i] + 0.5);
    return len;
}
string mul(string sa,string sb)
{
    int l1,l2,l;
    int i;
    string ans;
    memset(sum, 0, sizeof(sum));
    l1 = sa.size();
    l2 = sb.size();
    for(i = 0; i < l1; i++)
        x1[i] = sa[l1 - i - 1]-'0';
    for(i = 0; i < l2; i++)
        x2[i] = sb[l2-i-1]-'0';
    l = solve(x1, l1, x2, l2, sum);
    for(i = 0; i<l || sum[i] >= 10; i++) // 進位
    {
        sum[i + 1] += sum[i] / 10;
        sum[i] %= 10;
    }
    l = i;
    while(sum[l] <= 0 && l>0)    l--; // 檢索最高位
    for(i = l; i >= 0; i--)    ans+=sum[i] + '0'; // 倒序輸出
    return ans;
}
string Pow(string a,int n)
{
    if(n==1) return a;
    if(n&1) return mul(Pow(a,n-1),a);
    string ans=Pow(a,n/2);
    return mul(ans,ans);
}

8.高精度GCD

傳入參數約定：傳入參數均為string類型，返回值為string類型

算法思想：高精度加減乘除的運用。

算法復雜度：已無法估計。

string add(string a,string b)
{
    const int L=1e5;
    string ans;
    int na[L]={0},nb[L]={0};
    int la=a.size(),lb=b.size();
    for(int i=0;i<la;i++) na[la-1-i]=a[i]-'0';
    for(int i=0;i<lb;i++) nb[lb-1-i]=b[i]-'0';
    int lmax=la>lb?la:lb;
    for(int i=0;i<lmax;i++) na[i]+=nb[i],na[i+1]+=na[i]/10,na[i]%=10;
    if(na[lmax]) lmax++;
    for(int i=lmax-1;i>=0;i--) ans+=na[i]+'0';
    return ans;
}
string mul(string a,string b)
{
    const int L=1e5;
    string s;
    int na[L],nb[L],nc[L],La=a.size(),Lb=b.size();//na存儲被乘數，nb存儲乘數，nc存儲積
    fill(na,na+L,0);fill(nb,nb+L,0);fill(nc,nc+L,0);//將na,nb,nc都置為0
    for(int i=La-1;i>=0;i--) na[La-i]=a[i]-'0';//將字符串表示的大整形數轉成i整形數組表示的大整形數
    for(int i=Lb-1;i>=0;i--) nb[Lb-i]=b[i]-'0';
    for(int i=1;i<=La;i++)
        for(int j=1;j<=Lb;j++)
        nc[i+j-1]+=na[i]*nb[j];//a的第i位乘以b的第j位為積的第i+j-1位（先不考慮進位）
    for(int i=1;i<=La+Lb;i++)
        nc[i+1]+=nc[i]/10,nc[i]%=10;//統一處理進位
    if(nc[La+Lb]) s+=nc[La+Lb]+'0';//判斷第i+j位上的數字是不是0
    for(int i=La+Lb-1;i>=1;i--)
        s+=nc[i]+'0';//將整形數組轉成字符串
    return s;
}
int sub(int *a,int *b,int La,int Lb)
{
    if(La<Lb) return -1;//如果a小於b，則返回-1
    if(La==Lb)
    {
        for(int i=La-1;i>=0;i--)
            if(a[i]>b[i]) break;
            else if(a[i]<b[i]) return -1;//如果a小於b，則返回-1
 
    }
    for(int i=0;i<La;i++)//高精度減法
    {
        a[i]-=b[i];
        if(a[i]<0) a[i]+=10,a[i+1]--;
    }
    for(int i=La-1;i>=0;i--)
        if(a[i]) return i+1;//返回差的位數
    return 0;//返回差的位數
 
}
string div(string n1,string n2,int nn)//n1,n2是字符串表示的被除數，除數,nn是選擇返回商還是余數
{
    const int L=1e5;
    string s,v;//s存商,v存余數
     int a[L],b[L],r[L],La=n1.size(),Lb=n2.size(),i,tp=La;//a，b是整形數組表示被除數，除數，tp保存被除數的長度
     fill(a,a+L,0);fill(b,b+L,0);fill(r,r+L,0);//數組元素都置為0
     for(i=La-1;i>=0;i--) a[La-1-i]=n1[i]-'0';
     for(i=Lb-1;i>=0;i--) b[Lb-1-i]=n2[i]-'0';
     if(La<Lb || (La==Lb && n1<n2)) {
            //cout<<0<<endl;
     return n1;}//如果a<b,則商為0，余數為被除數
     int t=La-Lb;//除被數和除數的位數之差
     for(int i=La-1;i>=0;i--)//將除數擴大10^t倍
        if(i>=t) b[i]=b[i-t];
        else b[i]=0;
     Lb=La;
     for(int j=0;j<=t;j++)
     {
         int temp;
         while((temp=sub(a,b+j,La,Lb-j))>=0)//如果被除數比除數大繼續減
         {
             La=temp;
             r[t-j]++;
         }
     }
     for(i=0;i<L-10;i++) r[i+1]+=r[i]/10,r[i]%=10;//統一處理進位
     while(!r[i]) i--;//將整形數組表示的商轉化成字符串表示的
     while(i>=0) s+=r[i--]+'0';
     //cout<<s<<endl;
     i=tp;
     while(!a[i]) i--;//將整形數組表示的余數轉化成字符串表示的</span>
     while(i>=0) v+=a[i--]+'0';
     if(v.empty()) v="0";
     //cout<<v<<endl;
     if(nn==1) return s;
     if(nn==2) return v;
}
bool judge(string s)//判斷s是否為全0串
{
    for(int i=0;i<s.size();i++)
        if(s[i]!='0') return false;
    return true;
}
string gcd(string a,string b)//求最大公約數
{
    string t;
    while(!judge(b))//如果余數不為0，繼續除
    {
        t=a;//保存被除數的值
        a=b;//用除數替換被除數
        b=div(t,b,2);//用余數替換除數
    }
    return a;
}

9.高精度進制轉換

傳入參數約定：傳入第一個參數為string類型，第二第三均為int型，返回值為string類型

算法思想：模擬手工進制轉換。

算法復雜度：o(n^2)。

//將字符串表示的10進制大整數轉換為m進制的大整數
//並返回m進制大整數的字符串
bool judge(string s)//判斷串是否為全零串
{
    for(int i=0;i<s.size();i++)
        if(s[i]!='0') return 1;
    return 0;
}
string solve(string s,int n,int m)//n進制轉m進制只限0-9進制，若涉及帶字母的進制，稍作修改即可
{
    string r,ans;
    int d=0;
    if(!judge(s)) return "0";//特判
    while(judge(s))//被除數不為0則繼續
    {
        for(int i=0;i<s.size();i++)
        {
            r+=(d*n+s[i]-'0')/m+'0';//求出商
            d=(d*n+(s[i]-'0'))%m;//求出余數
        }
       s=r;//把商賦給下一次的被除數
       r="";//把商清空
        ans+=d+'0';//加上進制轉換后數字
        d=0;//清空余數
    }
    reverse(ans.begin(),ans.end());//倒置下
    return ans;
}

10.高精度求平方根

思路就是二分+高精度加減乘除法

設數的長度為n，則需二分log(2,10^n)次即n*log(2,10) 約等於n*3.3，由於數的長度為n，朴素高精度乘法復雜度為o(n^2)。故朴素算法求解高精度平方根復雜度為O(n^3)

當然，你也可以用FFT優化下高精度乘法。

下面的代碼實現了求大整數平方根的整數部分。

const int L=2015;
string add(string a,string b)//只限兩個非負整數相加
{
    string ans;
    int na[L]={0},nb[L]={0};
    int la=a.size(),lb=b.size();
    for(int i=0;i<la;i++) na[la-1-i]=a[i]-'0';
    for(int i=0;i<lb;i++) nb[lb-1-i]=b[i]-'0';
    int lmax=la>lb?la:lb;
    for(int i=0;i<lmax;i++) na[i]+=nb[i],na[i+1]+=na[i]/10,na[i]%=10;
    if(na[lmax]) lmax++;
    for(int i=lmax-1;i>=0;i--) ans+=na[i]+'0';
    return ans;
}
string sub(string a,string b)//只限大的非負整數減小的非負整數
{
    string ans;
    int na[L]={0},nb[L]={0};
    int la=a.size(),lb=b.size();
    for(int i=0;i<la;i++) na[la-1-i]=a[i]-'0';
    for(int i=0;i<lb;i++) nb[lb-1-i]=b[i]-'0';
    int lmax=la>lb?la:lb;
    for(int i=0;i<lmax;i++)
    {
        na[i]-=nb[i];
        if(na[i]<0) na[i]+=10,na[i+1]--;
    }
    while(!na[--lmax]&&lmax>0)  ;lmax++;
    for(int i=lmax-1;i>=0;i--) ans+=na[i]+'0';
    return ans;
}
string mul(string a,string b)//高精度乘法a,b,均為非負整數
{
    string s;
    int na[L],nb[L],nc[L],La=a.size(),Lb=b.size();//na存儲被乘數，nb存儲乘數，nc存儲積
    fill(na,na+L,0);fill(nb,nb+L,0);fill(nc,nc+L,0);//將na,nb,nc都置為0
    for(int i=La-1;i>=0;i--) na[La-i]=a[i]-'0';//將字符串表示的大整形數轉成i整形數組表示的大整形數
    for(int i=Lb-1;i>=0;i--) nb[Lb-i]=b[i]-'0';
    for(int i=1;i<=La;i++)
        for(int j=1;j<=Lb;j++)
        nc[i+j-1]+=na[i]*nb[j];//a的第i位乘以b的第j位為積的第i+j-1位（先不考慮進位）
    for(int i=1;i<=La+Lb;i++)
        nc[i+1]+=nc[i]/10,nc[i]%=10;//統一處理進位
    if(nc[La+Lb]) s+=nc[La+Lb]+'0';//判斷第i+j位上的數字是不是0
    for(int i=La+Lb-1;i>=1;i--)
        s+=nc[i]+'0';//將整形數組轉成字符串
    return s;
}
int sub(int *a,int *b,int La,int Lb)
{
    if(La<Lb) return -1;//如果a小於b，則返回-1
    if(La==Lb)
    {
        for(int i=La-1;i>=0;i--)
            if(a[i]>b[i]) break;
            else if(a[i]<b[i]) return -1;//如果a小於b，則返回-1
 
    }
    for(int i=0;i<La;i++)//高精度減法
    {
        a[i]-=b[i];
        if(a[i]<0) a[i]+=10,a[i+1]--;
    }
    for(int i=La-1;i>=0;i--)
        if(a[i]) return i+1;//返回差的位數
    return 0;//返回差的位數
 
}
string div(string n1,string n2,int nn)//n1,n2是字符串表示的被除數，除數,nn是選擇返回商還是余數
{
    string s,v;//s存商,v存余數
     int a[L],b[L],r[L],La=n1.size(),Lb=n2.size(),i,tp=La;//a，b是整形數組表示被除數，除數，tp保存被除數的長度
     fill(a,a+L,0);fill(b,b+L,0);fill(r,r+L,0);//數組元素都置為0
     for(i=La-1;i>=0;i--) a[La-1-i]=n1[i]-'0';
     for(i=Lb-1;i>=0;i--) b[Lb-1-i]=n2[i]-'0';
     if(La<Lb || (La==Lb && n1<n2)) {
            //cout<<0<<endl;
     return n1;}//如果a<b,則商為0，余數為被除數
     int t=La-Lb;//除被數和除數的位數之差
     for(int i=La-1;i>=0;i--)//將除數擴大10^t倍
        if(i>=t) b[i]=b[i-t];
        else b[i]=0;
     Lb=La;
     for(int j=0;j<=t;j++)
     {
         int temp;
         while((temp=sub(a,b+j,La,Lb-j))>=0)//如果被除數比除數大繼續減
         {
             La=temp;
             r[t-j]++;
         }
     }
     for(i=0;i<L-10;i++) r[i+1]+=r[i]/10,r[i]%=10;//統一處理進位
     while(!r[i]) i--;//將整形數組表示的商轉化成字符串表示的
     while(i>=0) s+=r[i--]+'0';
     //cout<<s<<endl;
     i=tp;
     while(!a[i]) i--;//將整形數組表示的余數轉化成字符串表示的</span>
     while(i>=0) v+=a[i--]+'0';
     if(v.empty()) v="0";
     //cout<<v<<endl;
     if(nn==1) return s;
     if(nn==2) return v;
}
bool cmp(string a,string b)
{
    if(a.size()<b.size()) return 1;//a小於等於b返回真
    if(a.size()==b.size()&&a<=b) return 1;
    return 0;
}
string DeletePreZero(string s)
{
    int i;
    for(i=0;i<s.size();i++)
        if(s[i]!='0') break;
    return s.substr(i);
}

string BigInterSqrt(string n)
{
    n=DeletePreZero(n);
    string l="1",r=n,mid,ans;
    while(cmp(l,r))
    {
        mid=div(add(l,r),"2",1);
        if(cmp(mul(mid,mid),n)) ans=mid,l=add(mid,"1");
        else r=sub(mid,"1");
    }
    return ans;
}