L3-021 神壇(極角排序求三角形最小面積)

在古老的邁瑞城，巍然屹立着 n 塊神石。長老們商議，選取 3 塊神石圍成一個神壇。因為神壇的能量強度與它的面積成反比，因此神壇的面積越小越好。特殊地，如果有兩塊神石坐標相同，或者三塊神石共線，神壇的面積為 0.000。

長老們發現這個問題沒有那么簡單，於是委托你編程解決這個難題。

輸入格式：

輸入在第一行給出一個正整數 n（3 ≤n≤5000）。隨后 n 行，每行有兩個整數，分別表示神石的橫坐標、縱坐標（-10⁹≤橫坐標、縱坐標<10⁹）。

輸出格式：

在一行中輸出神壇的最小面積，四舍五入保留 3 位小數。

輸入樣例：

8
3 4
2 4
1 1
4 1
0 3
3 0
1 3
4 2

輸出樣例：

0.500

樣例解釋

輸出的數值等於圖中紅色或紫色框線的三角形的面積。

題意

N個點求最小三角形。

題解

首先需要知道3個點如何求S，0.5*abs(aXb)。

枚舉每個點，極角排序，求出相鄰向量的面積取個最小。

通過畫圖，可以發現若不取相鄰，雖然也可以但是得多一層循環不能接受。

取相鄰，可以發現剛好覆蓋了所有最小的三角形。

代碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N=5005;

int n;
struct point//存儲點
{
    ll x,y;
}p[N],c[N];
bool cmp(point a,point b)//按順時針排序
{
    return b.y*a.x>b.x*a.y;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%lld%lld",&p[i].x,&p[i].y);
    ll ans=1e18;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        int k=0;
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            if(i!=j)
            {
                c[k].x=p[j].x-p[i].x;
                c[k].y=p[j].y-p[i].y;
                k++;
            }
        }
        sort(c,c+k,cmp);
        for(int j=1;j<k;j++)
            ans=min(ans,abs(c[j].y*c[j-1].x-c[j].x*c[j-1].y));
    }
    printf("%.3f\n",ans/2.);
    return 0;
}