梯度下降法原理與python實現

• 梯度下降法（Gradient descent）是一個一階最優化算法，通常也稱為最速下降法。 要使用梯度下降法找到一個函數的局部極小值，必須向函數上當前點對應梯度（或者是近似梯度）的反方向的規定步長距離點進行迭代搜索。如果相反地向梯度正方向迭代進行搜索，則會接近函數的局部極大值點；這個過程則被稱為梯度上升法。
• 本文將從最優化問題談起，回顧導數與梯度的概念，引出梯度下降的數據推導；概括三種梯度下降方法的優缺點，並用Python實現梯度下降（附源碼）。

1 最優化問題

• 最優化問題是求解函數極值的問題，包括極大值和極小值。
• 微積分為我們求函數的極值提供了一個統一的思路：找函數的導數等於0的點，因為在極值點處，導數必定為0。這樣，只要函數的可導的，我們就可以用這個萬能的方法解決問題，幸運的是，在實際應用中我們遇到的函數基本上都是可導的。
• 機器學習之類的實際應用中，我們一般將最優化問題統一表述為求解函數的極小值問題，即:

\[min_xf(x) \]

• 其中\(x\)稱為優化變量，\(f\)稱為目標函數。極大值問題可以轉換成極小值問題來求解，只需要將目標函數加上負號即可：

\[min_x{-f(x)} \]

2 導數與梯度

• 梯度是多元函數對各個自變量偏導數形成的向量。多元函數的梯度表示：

\[\nabla f(x) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1},...,\frac{\partial f}{\partial x_n} \right)^T \]

• 如果Hessian矩陣正定，函數有極小值；如果Hessian矩陣負定，函數有極大值；如果Hessian矩陣不定，則需要進一步討論。

• 如果二階導數大於0，函數有極小值；如果二階導數小於0，函數有極大值；如果二階導數等於0，情況不定。

問題：為何不直接求導，令導數等於零去求解？

• 直接求函數的導數，有的函數的導數方程組很難求解，比如下面的方程：

\[f(x,y) = x^5 + e^{x}{y}- y^3 + 10y^2 - 100\sin(xy)-2x^2 \]

3 梯度下降的推導過程

• 回顧一下泰勒展開式

\[f(x) = \frac{f(x_0)}{0!} + \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ... + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x) \]

• 多元函數\(f(x)\)在x處的泰勒展開：

\[f(x + \Delta x) = f(x) + f'(x)\Delta x + \frac{1}{2}f''(x) \Delta x^2 + ... \]

3.1 數學推導

目標是求多元函數\(f(x)\)的極小值。梯度下降法是通過不斷迭代得到函數極小值，即如能保證\(f(x +\Delta x)\)比\(f(x)\)小，則不斷迭代，最終能得到極小值。想象你在山頂往山腳走，如果每一步到的位置比之前的位置低，就能走到山腳。問題是像哪個方向走，能最快到山腳呢?
由泰勒展開式得:

\[f(x + \Delta x) - f(x) = (\nabla f(x))^T \Delta x + o(\Delta x) \]

如果\(\Delta x\)足夠小，可以忽略\(o(\Delta x)\)，則有：

\[f(x + \Delta x) - f(x) \approx (\nabla f(x))^T \Delta x \]

於是只有：

\[(\nabla f(x))^T \Delta x < 0 \]

能使

\[f(x + \Delta x) < f(x) \]

因為\(\nabla f(x)\)與\(\Delta x\)均為向量，於是有：

\[(\nabla f(x))^T \Delta x = \| \nabla f(x)\|\|\Delta x\|cos\theta \]

其中，\(\theta\)是向量\(\nabla f(x)\)與\(\Delta x\)的夾角，\(\| \nabla f(x)\|\)與\(\|\Delta x\|\)是向量對應的模。可見只有當

\[cos\theta < 0 \]

才能使得

\[(\nabla f(x))^T \Delta x < 0 \]

又因

\[cos\theta \ge -1 \]

可見，只有當

\[cos\theta = -1 \]

即\(\theta = \pi\)時，函數數值降低最快。此時梯度和\(\Delta x\)反向，即夾角為180度。因此當向量\(\Delta x\)的模大小一定時，取

\[\Delta x = -\alpha \nabla f(x) \]

即在梯度相反的方向函數值下降的最快。此時函數的下降值為：

\[(\nabla f(x))^T \Delta x = -\| \nabla f(x)\|\|\Delta x\| = - \alpha \| \nabla f(x)\|^2 \]

只要梯度不為\(0\)，往梯度的反方向走函數值一定是下降的。直接用可能會有問題，因為\(x+\Delta x\)可能會超出\(x\)的鄰域范圍之外，此時是不能忽略泰勒展開中的二次及以上的項的，因此步伐不能太大。
一般設：

\[\Delta x = -\alpha \nabla f(x) \]

其中\(\alpha\)為一個接近於\(0\)的正數，稱為步長，由人工設定，用於保證\(x+\Delta x\)在x的鄰域內，從而可以忽略泰勒展開中二次及更高的項，則有:

\[(\nabla f(x))^T \Delta x = -\| \nabla f(x)\|\|\Delta x\| = - \alpha \| \nabla f(x)\|^2 < 0 \]

此時，\(x\)的迭代公式是：

\[x_{k+1} = x_k - \alpha \nabla f(x_k) \]

只要沒有到達梯度為\(0\)的點，則函數值會沿着序列\(x_{k}\)遞減，最終會收斂到梯度為\(0\)的點，這就是梯度下降法。
迭代終止的條件是函數的梯度值為\(0\)（實際實現時是接近於\(0\)），此時認為已經達到極值點。注意我們找到的是梯度為\(0\)的點，這不一定就是極值點，后面會說明。

4 實現的細節

• 初始值的設定
  一般的，對於不帶約束條件的優化問題，我們可以將初始值設置為0，或者設置為隨機數，對於神經網絡的訓練，一般設置為隨機數，這對算法的收斂至關重要。

• 學習率的設定
  學習率設置為多少，也是實現時需要考慮的問題。最簡單的，我們可以將學習率設置為一個很小的正數，如0.001。另外，可以采用更復雜的策略，在迭代的過程中動態的調整學習率的值。比如前1萬次迭代為0.001，接下來1萬次迭代時設置為0.0001。

5 存在的問題

• 局部極小值
  • 梯度下降可能在局部最小的點收斂。
    
• 鞍點
  • 鞍點是指梯度為0，Hessian矩陣既不是正定也不是負定，即不定的點。如函數\(x^2-y^2\)在\((0,0)\)點梯度為0，但顯然不是局部最小的點，也不是全局最小的點。
    

6 三種梯度下降的實現

• 批量梯度下降法：Batch Gradient Descent，簡稱BGD。求解梯度的過程中用了全量數據。
  • 全局最優解；易於並行實現。
  • 計算代價大，數據量大時，訓練過程慢。
• 隨機梯度下降法：Stochastic Gradient Descent，簡稱SGD。依次選擇單個樣本計算梯度。
  • 優點：訓練速度快；
  • 缺點：准確度下降，並不是全局最優；不易於並行實現。
• 小批量梯度下降法：Mini-batch Gradient Descent，簡稱MBGD。每次更新參數時使用b個樣本。（b一般為10）。
  • 兩種方法的性能之間取得一個折中。

7 用梯度下降法求解多項式極值

7.1 題目

\(argmin\frac{1}{2}[(x_{1}+x_{2}-4)^2 + (2x_{1}+3x_{2}-7)^2 + (4x_{1}+x_{2}-9)^2]\)

7.2 python解題

以下只是為了演示計算過程，便於理解梯度下降，代碼僅供參考。更好的代碼我將在以后的文章中給出。

# 原函數
def argminf(x1, x2):
    r = ((x1+x2-4)**2 + (2*x1+3*x2 - 7)**2 + (4*x1+x2-9)**2)*0.5
    return r


# 全量計算一階偏導的值
def deriv_x(x1, x2):
    r1 = (x1+x2-4) + (2*x1+3*x2-7)*2 + (4*x1+x2-9)*4
    r2 = (x1+x2-4) + (2*x1+3*x2-7)*3 + (4*x1+x2-9)
    return r1, r2

# 梯度下降算法
def gradient_decs(n):
    alpha = 0.01     # 學習率
    x1, x2 = 0, 0    # 初始值
    y1 = argminf(x1, x2)
    for i in range(n):
        deriv1, deriv2 = deriv_x(x1, x2)
        x1 = x1 - alpha * deriv1
        x2 = x2 - alpha * deriv2
        y2 = argminf(x1, x2)
        if y1 - y2 < 1e-6:
            return x1, x2, y2
        if y2 < y1:
            y1 = y2
    return x1, x2, y2

# 迭代1000次結果
gradient_decs(1000)
# (1.9987027392533656, 1.092923742270406, 0.4545566995437954)

參考文獻

• 《機器學習與應用》
• https://zh.wikipedia.org/wiki/梯度下降法