辛普森悖論
介紹
觀察下面 表格：
| Treatment A | Treatment B | |
|---|---|---|
| Small stones | Group 1 93% (81/87) | Group 2 87% (234/270) |
| Large stones | Group 3 73% (192/263) | Group 4 69% (55/80) |
| Both | 78% (273/350) | 83% (289/350) |
分析：
治療方法A在小、大腎結石分類下都比B的康復率高；但是結合在一起觀察，B的康復率比A高；
辛普森悖論：在分組比較中都占優勢的一方，在總評中有時反而是失勢的一方。
分析
1，辛普森悖論成立時，通常是忽略了因果關系(causal relation)；
影響康復率的根本因素是病情嚴重，而不是治療方法；
2，分組后觀察數據更加清晰；
分組后，組之間的規模大小size差距懸殊，這導致各組權重應該是不同的。
案例中，在輕症患者分類下，方法B雖然處於弱勢，但是弱的程度並不大，且B的規模比方法A大，這導致了方法B綜合比A強；
從數據綜合來看：方法A適用重症，B適用輕症；
數學原理
\[\left\{ \begin{array}{l} \frac {a_1}{b_1}>\frac {a_2}{b_2}\\ \frac {c_1}{d_1}>\frac {c_2}{d_2}\\ \end{array} \right.\not\Rightarrow\frac{a_1+c_1}{b_1+d_1}>\frac{a_2+c_2}{b_2+d_2} \]
圖像表示
B1優於L1且B2優於L2，但是B1+B2弱於L1+L2；
基本比率謬誤
介紹
人群中，患某病的比例是a=1%；即一百人里有1人患病；
做病症試驗反應，真陽性、真陰性的概率均是b=90%；即患者中，陽性概率是0.9；不患病中，陰性概率是0.9（即檢測試劑存在誤差）；
現在某人反應為陽性，患病的概率是？
數學原理
\[P(患病|陽性)=\frac{P(患病且陽性)}{P(陽性)}=\frac{P(陽性|患病)*P(患病)}{P(陽性|患病)*P(患病)+P(陽性|非不患病)*P(不患病)}=\frac{ab}{ab+(1-a)(1-b)}=8.3\% \]
因為分母中存在\((1-a)(1-b)\)進行分擔，也就是假陽性概率(1-b)低，但是不患病概率(1-a)非常高，綜合分母也大；