本文想要從各個角度介紹映射的度（degree）這一概念。
目錄
綜述
記$\mathbb{S}^1$為單位圓周。以$X\simeq Y$表示$X,Y$具有相同的同倫型（同倫等價）。
映射度最初來自於$\mathbb{S}^1\to \mathbb{S}^1$映射同倫類的研究。熟知$\mathbb{S}^1$的基本群給出其上映射同倫類的分類，這是Van Kampen定理的直接推論，其證明可見[1] P158或[2] P28甚至[3] P47。倘若視$\mathbb{S}^1\subseteq \mathbb{C}$，其分類結果朴素地說是映射$[z\mapsto z^n]$在$n\in \mathbb{Z}$時不重不漏地給出所有同倫類。換言之我們得到同構$\pi_1(\mathbb{S}^1,*)\cong \mathbb{Z}$。這一分類結果表明，$\mathbb{S}^1\to \mathbb{S}^1$由旋轉的『圈數』決定。因此，平面$\mathbb{R}^n$上任意一條封閉曲線$C$，對於不在其上的點$x$，我們總可以透過同倫等價$\mathbb{S}^1\simeq \mathbb{R}^2\setminus \{x\}$談論環繞的『圈數』（此時也被稱為旋轉指數），這一概念在復分析中也是關鍵的，如整體Cauchy積分公式和留數定理，例如[4] P217 10.35 P223 10.42。
以代數拓撲觀之
下面我們需要一些同調理論和同倫。目前已知的關於圓周的同倫和同調群的結果是
$$\pi_m(\mathbb{S}^n,*)=\begin{cases}0& m< n \\ \mathbb{Z} & m=n \\ ?? & m>n \end{cases}\qquad \tilde{H}_n(\mathbb{S}^n)=\begin{cases}0& m\neq n \\ \mathbb{Z} & m=n\end{cases}$$
前者給出的$\pi_n(\mathbb{S}^n,*)=\mathbb{Z}$實際上給出$\mathbb{S}^n\to \mathbb{S}^n$全部同倫類，這是一個高度不平凡的結論，這被稱為Hopf定理，證明可見[1] P297或[5] P50。后者$\tilde{H}$表示簡約奇異同調群，其結果是Mayer-Vietoris序列的自然推論，參見[6] P30。
下面我們的目標是定義一個映射$f: \mathbb{S}^n\to \mathbb{S}^n$的度（degree）。有了上面的Hopf定理，只需要定義$\deg f$為$f$在$\pi_n(\mathbb{S}^n, *)$中的像。用同調，則定義誘導的$$\mathbb{Z}\cong \tilde{H}_n(\mathbb{S}^n)\stackrel{\tilde{H}_n(f)}\to \tilde{H}_n(\mathbb{S}^n)\to \mathbb{Z}$$所定義的數乘（因為$\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$的所有同態由$1$的像決定）。這二者通過觀察生成元是一致的。最為基本的幾個刻畫是
- $\deg(\operatorname{id})=1$。
- $\deg(g\circ f)=\deg f\deg g$。
- $\deg (\textrm{常函數})=0$。
- $\deg (\textrm{鏡面反射})=-1$，其中鏡面反射是$(x_0,x_1,\ldots,x_n)\mapsto (-x_0,x_1,\ldots,x_n)$。
- $\deg (\textrm{對徑映射})=(-1)^{n+1}$，其中對徑映射是$(x_0,x_1,\ldots,x_n)\mapsto (-x_0,-x_1,\ldots,-x_n)$。
- 如果非退化的線性變換$A: \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$，那么通過單點緊化得到的映射$\mathbb{S}^n\to \mathbb{S}^n$具有度$\operatorname{sgn}(\det A)$。
證明可見[6] P32。一個有趣的定理是毛球定理
毛球定理 $\mathbb{S}^n$具有一個處處不為$0$的切向量場當且僅當$n$是奇數。
證明 首先無妨將其單位化，假設$x$處的切向量是$v(x)$，不妨假設切向量場是單位的，那么$F(x,\theta)=x\cos \theta+v(x)\sin\theta$定義同倫$\operatorname{id}\simeq (\textrm{對徑映射})$，根據前面的計算，這迫使$n$是奇數。而如果$n=2k-1$，那么$$v(x_1,\ldots,x_{2k})=(x_2,-x_1,x_4,-x_3,\ldots,x_{2k},-x_{2k-1})$$定義了一個切向量場。$\square$
上面的證明采自[5]第五節。這個定理的幾何意義是二維球面上的毛發永遠存在『旋』，參見Wiki百科的介紹。
以微分幾何觀之
實際上，對於光滑映射$f: M\to N$，如果$M$是無邊緊致可以定向的，$N$是連通可定向的，且$M,N$維數相同，我們也可以定義映射的度。首先定義正則值的概念，稱下列集合的元素是正則值$$\{y\in N: \forall x\in f^{-1}(y), \textrm{d}f|_x\textrm{非退化}\}$$注意，如果$f^{-1}(y)=\varnothing$，那么自動是正則值。具體的操作如下
- 首先Sard定理斷言，正則值是稠密的。實際上Sard定理指出非正則值具有Lebsgue測度$0$。
- 注意到對於正則值$y\in N$, $f^{-1}(y)$總是有限的。
- 對於正則值$y\in N$，定義$$\deg(f,y)=\sum_{x\in f^{-1}(y)} \operatorname{sgn} \textrm{d}f|_x$$這里$\operatorname{sgn}$取值為$\pm 1$，為$1$與否取決於和定向是否一致。
- 注意到，$\deg(f,y)$關於正則值$y$是局部常值的，即使$f^{-1}(y)=\varnothing$。
- 證明如果$g\simeq h$，那么$\deg(g,y)=\deg(h,y)$。這里同倫當然還要求光滑。這部分需要用到定向和一維光滑流形的分類。
- 齊性引理斷言任何連通流形$N$上兩點都可以有和$\operatorname{id}$的同倫$h: N\to N$使得$h(x)=y$。
- 綜合上述結果可知$\deg(f,y)$和正則值$y$的選取是無關的。
以上過程摘自[5]第5節。粗略來說，以上定義切換回$\mathbb{S}^1\to \mathbb{S}^1$的例子就是看各點是在順時針旋轉還是逆時針旋轉。為了防止重復計數的『原路返回』的『假圈數』，用局部順逆來作為指標。一個或許令人震驚的推論是$\deg f\neq 0$意味着$f$一定是滿射，這表明緊致性的條件確實足夠之強。
以上過程說明$\deg$是可以局部計算的，拓撲上的證明可見[1]P192 7.5或[2] P134 2.30，這實際上證明了兩個度定義的一致性。一個不需要定向的指標是$\# f^{-1}(y)\mod 2$，建立過程是類似的，參見[5]第4節，這直接用原像的點的個數來衡量。作為定義$\deg$的應用，我們可以談論一個『帶重數』的積分定理。
定理 對於兩個緊致連通可定向$n$維光滑流形之間的光滑映射$M\stackrel{f}\to N$，對任何$N$的$n$次微分形式$\omega$都有$$\int_M \omega\circ f =\deg f \int_N \omega $$
證明 Sard定理斷言非正則值是Lebsgue測度0的，這保證了我們可以只在正則值上考慮（因為正則值是開集），通過單位分拆，我們只需要證明存在正則值的開覆蓋使得$\operatorname{supp}\omega$再其中時是正確的即可。這總是可以做到的，因為任意一個正則值$y$，假設$f^{-1}(y)=\{x_1,\ldots,x_m\}$，則在$x_i$處局部都是微分同胚，由於有限，可以選擇透過$f$微分同胚的開集$U_i\ni x_i$和$V\ni y$，這樣根據$\deg$的定義命題得證。$\square$
參見[7] P51 (5.19)，作者在當中重新建立了$\deg$的概念。
實際上上述概念還可以純拓撲地看。令$f:M\to N$是無邊緊致可定向的$n$維拓撲流形之間的連續映射，Poincaré對偶表明$H^n(M)=H^0(M)=H^n(N)=H^0(N)=\mathbb{Z}$，那么可以定義其度為誘導的數乘。當中可定向也需要純拓撲地定義。至於二者的一致性，利用de Rham理論和上面積分的刻畫應當可以證明出其等價性，同時利用定義的局部性，應當也可以給出一個證明，但是目前我沒有親眼看到一個證明，如果你知道任何Reference，請聯系我。除此之外，拓撲定義的可定向和微分幾何通常可定向是一致的證明，如果你知道，也請務必告訴我。
以代數幾何觀之
在代數幾何中，我們想要類比微分幾何對曲線之間的同態定義度的概念。下面固定代數閉域$\Bbbk$，我們可以對任意一個超越次數為$1$的域$K$，定義抽象的曲線為其上所有離散賦值構成的集合，當中仿照仿射情形賦予的Zariski拓撲，這總是可以嵌入某個射影空間$\mathbb{P}_{\Bbbk}^n$的，參見[8] P44 6.9。這表明其是完備的，這類比緊致性，參見[8] P136 6.7。之后我們通稱之為曲線。一個重要的引理如下。
引理 態射$X\stackrel{f}\to Y$要么是常值映射，要么是滿射。
參見[8] P138 6.8。這在Riemann曲面上也有類比。注意到滿射意味着對應的函數域有包含關系（實際上只需要像稠密，這被稱作dominant）。假如$X$是光滑的，那么函數域$\mathcal{K}(Y)\to \mathcal{K}(X)$是有限代數擴張。我們就定義$$\deg f=[\mathcal{K}(X): \mathcal{K}(Y)]$$
如果運用除子理論，我們可以更清晰地看到這和前面定義的類比之處。對於$Y$上的一個點$y$，那么$y$對應於$\mathcal{K}(Y)$上的一個$\Bbbk$-離散賦值$\mu$，則$y$的原像對應於$\mathcal{K}(X)$上的$\mu$的全部擴張。假如$t\in \mathcal{K(Y)}$使得$\mu(t)=1$，那么定義$$f^*(y)=\sum_{f(x)=y}\mu_x(t)x\qquad (\textrm{形式和})\qquad \textrm{其中$\mu_x$是$x$對應的$\mathcal{K}(X)$上的賦值}$$實際上，$\mu_x(t)$就是$x$作為$y$原像的『重數』，這樣，類似於數論中的基本恆等式（因為假設代數閉，所以惰性指數始終為$1$，而分歧指數正是$\mu_x(t)$）斷言$$f^*(y)\textrm{各項系數之和}=\sum_{f(x)=y}\mu_x(t)=\deg f$$參見[8] P138 6.9.
我們想要回到最初$\mathbb{S}^1\to \mathbb{S}^1$上，不過可惜代數幾何沒有這類類比。好在$\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}$這樣的曲線（這是曲線，參見[8] P136 6.7）是$\mathbb{C}$添加上一個無窮遠點，這正是我們熟悉的Riemann球。一般地，Riemann球上的多項式函數$f$，在代數拓撲、微分幾何、代數幾何的意義下的度均是$f$的次數。假設$f$的次數是$n$，不妨假定首項系數為$1$，
- 拓撲地，$f(z)$和$z^n$是同倫的，於是通過Mayer-Vietoris序列只需要限制到單位圓周上考慮，這就說明了$\deg f=n$。要驗證$f_t=z^n+t(\textrm{低次部分})$是同倫，本質上是要驗證$\infty$附近的情況，無非是說明$f_t$在$z$充分大時恆不為$0$。實際上$f_t$在$|z|>\textrm{$f$各個系數的模}+1$時$f_t(z)\neq 0$，因為假設各個系數的最大值是$c$那么$$\begin{array}{rll}|f_t(z)|& = |z^n+t(\ldots )| \geq |z^n|-t|\ldots| \geq |z^n|-|\ldots |\\ &\geq |z^n|-c\frac{|z^n|-1}{|z|-1} > |z^n|-c\frac{|z^n|}{|z|-1} \geq |z^n|-|z^n|=0\end{array}$$
- 微分幾何上看，因為$f(z)=c$在$c$取一般的點的時候是$n$個，且$f$全純保證定向處處相同。具體來說假如記$f=u+iv,z=x+iy$，那么根據Cauchy-Riemann方程$$\det \left(\begin{array}{cc}\frac{\partial u}{\partial x} &\frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial y} &\frac{\partial v}{\partial y} \end{array}\right)=\det \left(\begin{array}{cc}\frac{\partial u}{\partial x} &-\frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y} &\frac{\partial u}{\partial x} \end{array}\right)\geq 0$$這就表明$\deg f =n$。
- 代數幾何上看，映射$$f: \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}\longrightarrow \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}\qquad x\longmapsto f(x)\qquad \infty \mapsto \infty$$誘導了函數域的映射為$$\varphi: \mathbb{C}(t)\longrightarrow \mathbb{C}(t)\qquad t\mapsto f(t)$$如果將$\varphi$視作包含，那么這個映射實際上是$$\mathbb{C}(t)\subseteq \mathbb{C}(t)[X]/(f(X)-t)$$這是一個$n$次代數擴張，根據定義$\deg f=n$。
這說明了以上三種幾何理解映射度的一致性。
參考文獻
[1] Topology and Geometry. Glen E. Bredon. GTM139.
[2] Algebraic Topology. Allen Hatcher available at the author's homepage.
[3] Algebraic Topology. Tamma tom Dieck.
[4] Real and Complex Analysis. Walter Rudin.
[5] Topology from the diferentiable viewpoint. John W. Milnor.
[6] 同調論. 姜伯駒.
[7] Representations of Compact Lie Groups. Theodor Bröcker & Tammo tom Dieck.
[8] Algebraic Geometry. Robin Harshorne. GTM52.
后記
想不到寫完已經這么晚了，一直以來都想搞明白這些橫跨各個幾何之間概念的聯系，今天（准確的說是昨天）看了代數幾何的版本，又回憶起之前學習到的度的概念，覺得是時候整理一番了，就寫到這么晚了。或許需要一些圖片來解釋，明天有時間再添加吧。
最近有些失眠，都是三四點才睡，希望這幾天能調整過來。
圖片：cowlick