二維離散余弦變換（2D-DCT）

     圖像處理中常用的正交變換除了傅里葉變換以外，還有一些其它常用的正交變換，其中離散余弦變換DCT就是一種，這是JPEG圖像壓縮算法里的核心算法，這里我們也主要講解JPEG壓縮算法里所使用8*8矩陣的二維離散余弦正變換。

一維離散余弦變換

一般表達式

       要弄懂二維離散余弦變換，首先我們需要先了解它在一維下的情況，具體表達式如下：

       式中F(u)是第u個余弦變換值，u是廣義頻率變量，u=1,2,….,N-1;f(x)是時域N點序列。x= 1,2,….,N-1;

矩陣表示法

       更為簡潔的定義離散余弦變換是采用矩陣式定義。根據以上公式定義可知，我們可以來推導一下，DCT變換可以用矩陣的形式表示出來，例當N=8時一維離散余弦變換的表達式展開可以得到如下表達式： u=1,2,...7

當u=0,1，...，7時，我們可以根據上述公式計算出離散余弦變換時每一個f(x)前面的變換系數如下：

      上式可以用矩陣的形式表達出來

      F(u)為變換域矩陣，是時域f(x)與A矩陣計算的結果；A為變換系數矩陣,當N取定值時，A就是一個常量矩陣；f(x)為時域數據矩陣，即需要轉換到變換域的原始數據，則一維離散余弦變換的矩陣定義式可寫成下方表達式：

二維離散余弦變換

    二維離散余弦變換可由下列表達式表示

       6是二維離散余弦變換的正變換公式，其中f(x,y)是空間域一個N*N的二維向量元素，即一個N*N的矩陣，x,y = 0,1,2，…，N-1;F(U,V)是經計算后得到的變換域矩陣，u,v = 0,1,2，….，N-1.求和可分性是二維離散余弦變換的一個重要特征，因此我們可以用下式表示6：

      由一維和二維的離散余弦變換公式性質可以推導得到二維離散余弦變換也可以寫成矩陣相乘形式

 

     A為一維離散余弦變換的變換系數矩陣，A^T是A的轉置矩陣

    對圖像進行二維離散余弦變換（2D-DCT）的步驟

     1.獲得圖像的二維數據矩陣f(x,y)；

     2.求離散余弦變換的系數矩陣A；

     3.求系數矩陣對應的轉置矩陣A^T；

     4.根據公式F=A[f(x,y)]A^T計算離散余弦變換；