三維凸包學習小記

三維凸包

Tags：高級算法

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Part 1 平面幾何基礎

出門右拐：https://www.cnblogs.com/xzyxzy/p/10033130.html （附計算幾何題單）

Part 2 立體幾何基礎

向量運算

加減運算

同平面向量，對應坐標相加減

模長

\(|a|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

點積

兩個向量的點積仍然表示 a到b的投影×b的模長
仍然滿足\(a·b=|a||b|cos<a,b>\)
坐標下有\((x_1,y_1,z_1)·(x_2,y_2,z_2)=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2\)，對應坐標相乘

叉積

兩個三維向量叉積仍然是一個三維向量（不同於平面向量，乘積是實數）
其模長仍然表示以這兩個三維向量作為鄰邊的平行四邊形面積
方向符合：對於\(a*b\)，伸出右手，食指指向\(a\)，中指指向\(b\)，大拇指所對的方向為叉積后的向量方向

如上圖，\(AC*AB=AD\)

坐標表示就是：\((y_1z_2-z_1y_2，z_1x_2-x_1z_2，x_1y_2-y_1x_2)\)

平面的法向量

在平面上任選兩個向量做叉積即可

判斷點是否在平面上

平面ABC，判斷D是否在平面上。
法向量n，則若AD&n=0，點積為零，說明D在平面上。

點到平面的距離

該點到平面上任意一點的向量 點積 平面的法向量
然后除以法向量的模長

double Dis(Node a) {Node w=Normal();return fabs((w&(a-A[v[0]]))/w.len());}

求凸包

擾動

首先對其微小擾動，避免出現四點共面的情況

平面的記錄

擾動之后各個平面一定是一個三角形，逆時針方向記錄三個頂點表示一個面

增量構造

借用網上這篇博客的圖片方便理解
對於一個已知凸包，新增一個點P
將P視作一個點光源，向凸包做射線
可以知道，光線的可見面和不可見面一定是由若干條棱隔開的

將光的可見面刪去，並新增由其分割棱與P構成的平面

重復此過程即可，復雜度\(O(n^2)\)，分析見Pick定理、歐拉公式和圓的反演。

代碼

洛谷模板：求三維凸包面積
先放上樣例的兩張靚照：

強烈推薦畫圖軟件Geogebra！

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=2010;
const double eps=1e-9;
int n,cnt,vis[N][N];
double ans;
double Rand() {return rand()/(double)RAND_MAX;}
double reps() {return (Rand()-0.5)*eps;}
struct Node
{
	double x,y,z;
	void shake() {x+=reps();y+=reps();z+=reps();}
	double len() {return sqrt(x*x+y*y+z*z);}
	Node operator - (Node A) {return (Node){x-A.x,y-A.y,z-A.z};}
	Node operator * (Node A) {return (Node){y*A.z-z*A.y,z*A.x-x*A.z,x*A.y-y*A.x};}
	double operator & (Node A) {return x*A.x+y*A.y+z*A.z;}
}A[N];
struct Face
{
	int v[3];
	Node Normal() {return (A[v[1]]-A[v[0]])*(A[v[2]]-A[v[0]]);}
	double area() {return Normal().len()/2.0;}
}f[N],C[N];
int see(Face a,Node b) {return ((b-A[a.v[0]])&a.Normal())>0;}
void Convex_3D()
{
	f[++cnt]=(Face){1,2,3};
	f[++cnt]=(Face){3,2,1};
	for(int i=4,cc=0;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1,v;j<=cnt;j++)
		{
			if(!(v=see(f[j],A[i]))) C[++cc]=f[j];
			for(int k=0;k<3;k++) vis[f[j].v[k]][f[j].v[(k+1)%3]]=v;
		}
		for(int j=1;j<=cnt;j++)
			for(int k=0;k<3;k++)
			{
				int x=f[j].v[k],y=f[j].v[(k+1)%3];
				if(vis[x][y]&&!vis[y][x]) C[++cc]=(Face){x,y,i};
			}
		for(int j=1;j<=cc;j++) f[j]=C[j];
		cnt=cc;cc=0;
	}
}
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>A[i].x>>A[i].y>>A[i].z,A[i].shake();
	Convex_3D();
	for(int i=1;i<=cnt;i++) ans+=f[i].area();
	printf("%.3f\n",ans);
}