三維卷積（Convolutions over volumes）
假如說你不僅想檢測灰度圖像的特征，也想檢測 RGB 彩色圖像的特征。彩色圖像如果是 6×6×3，這里的 3指的是三個顏色通道，你可以把它想象成三個 6×6圖像的堆疊。為了檢測圖像的邊緣或者其他的特征，不是把它跟原來的 3×3 的過濾器做卷積，而是跟一個三維的過濾器，它的維度是 3×3×3，這樣這個過濾器也有三層，對應紅綠、藍三個通道。
給這些起個名字（原圖像），這里的第一個 6 代表圖像高度，第二個 6 代表寬度，這個3 代表通道的數目。同樣你的過濾器也有高，寬和通道數，並且圖像的通道數必須和過濾器的通道數匹配，所以這兩個數（紫色方框標記的兩個數）必須相等。
這個卷積操作會是一個 4×4 的圖像，注意是 4×4×1，最后一個數不是 3 了。
這個是 6×6×3 的圖像，這個是3×3×3 的過濾器，最后一個數字通道數必須和過濾器中的通道數相匹配。為了簡化這個 3×3×3過濾器的圖像，我們不把它畫成 3 個矩陣的堆疊，而畫成這樣，一個三維的立方體。
為了計算這個卷積操作的輸出，你要做的就是把這個 3×3×3 的過濾器先放到最左上角的位置，這個 3×3×3 的過濾器有 27 個數， 27 個參數就是 3 的立方。依次取這 27 個數，然后乘以相應的紅綠藍通道中的數字。先取紅色通道的前 9 個數字，然后是綠色通道，然后再是藍色通道，乘以左邊黃色立方體覆蓋的對應的 27 個數，然后把這些數都加起來，就得到了輸出的第一個數字。
如果要計算下一個輸出，你把這個立方體滑動一個單位，再與這 27 個數相乘，把它們都加起來，就得到了下一個輸出，以此類推。
那么，這個能干什么呢？舉個例子，這個過濾器是 3×3×3 的，如果你想檢測圖像紅色通道的邊緣，那么你可以將第一個過濾器設為：
而綠色通道全為 0：
藍色也全為 0。如果你把這三個堆疊在一起形成一個 3×3×3 的過濾器，那么這就是一個檢測垂直邊界的過濾器，但只對紅色通道有用。或者如果你不關心垂直邊界在哪個顏色通道里，那么你可以用一個這樣的過濾器：
所有三個通道都是這樣。所以通過設置第二個過濾器參數，你就有了一個邊界檢測器， 3×3×3 的邊界檢測器，用來檢測任意顏色通道里的邊界。參數的選擇不同，你就可以得到不同的特征檢測器，所有的都是 3×3×3 的過濾器。
按照計算機視覺的慣例，當你的輸入有特定的高寬和通道數時， 你的過濾器可以有不同的高，不同的寬，但是必須一樣的通道數。理論上，我們的過濾器只關注紅色通道，或者只關注綠色或者藍色通道也是可行的。
再注意一下這個卷積立方體，一個 6×6×6 的輸入圖像卷積上一個 3×3×3 的過濾器，得到一個 4×4 的二維輸出。
如果你想同時用多個過濾器怎么辦？
這個 6×6×3 的圖像和這個 3×3×3 的過濾器卷積，得到 4×4 的輸出。（第一個）這可能是一個垂直邊界檢測器或者是學習檢測其他的特征。第二個過濾器可以用橘色來表示，它可以是一個水平邊緣檢測器。
所以和第一個過濾器卷積，可以得到第一個 4×4 的輸出，然后卷積第二個過濾器，得到一個不同的 4×4 的輸出。我們做完卷積，然后把這兩個 4×4 的輸出，取第一個把它放到前面，然后取第二個過濾器輸出，所以把這兩個輸出堆疊在一起，這樣你就都得到了一個 4×4×2 的輸出立方體。它用 6×6×3 的圖像，然后卷積上這兩個不同的 3×3 的過濾器，得到兩個 4×4 的輸出，它們堆疊在一起，形成一個 4×4×2 的立方體，這里的 2 的來源於我們用了兩個不同的過濾器。
如果你有一個$n*n*{n_c}$（通道數）的輸入圖像，在這個例子中就是 6×6×3，這里的${n_c}$就是通道數目，然后卷積上一個$f*f*{n_c}$，這個例子中是 3×3×3，然后你就得到了$(n - f + 1) \times (n - f + 1) \times {n_{{c^'}}}$:
這里${n_{{c^'}}}$其實就是下一層的通道數，它就是你用的過濾器的個數，在我們的例子中，那就是 4×4×2。這個假設時用的步幅為 1，並且沒有 padding。如果你用了不同的步幅或者 padding，那么這個n − f + 1數值會變化。
這個對立方體卷積的概念真的很有用，你現在可以用它的一小部分直接在三個通道的RGB 圖像上進行操作。更重要的是，你可以檢測兩個特征，比如垂直和水平邊緣或者 10 個或者 128 個或者幾百個不同的特征，並且輸出的通道數會等於你要檢測的特征數。