Graph圖總結

本文轉載自查看原文 2019-01-12 16:49 1076 C/ 總結/ COMP20003 Algorithms and Data Structures/ 數據結構

將COMP20003中關於Graph的內容進行總結，內容來自COMP20003，中文術語並不准確，以英文為准。

Graph G = {V, E}

　　頂Vertices V: can contain information

　　邊Edges E (links between vertices): can have direction and/or weight

種類：

　　有向圖(directed graph)：邊(edge)有方向。
- 弱有向連接圖Weakly connected directed graph：將有向的邊替換成無向的邊后能得到無向連通圖。

- 強有向連接圖Strongly connected directed graph：在有向圖中，任意頂通過邊到達任意頂。

- - Strongly connected components in a directed graph:在同一區域(component)的頂可以到達所有同一區域的頂。

　　無向圖(undirected graph)：邊(edge)沒有方向。
- 無向連通圖Connected Undirected graph: 任意的頂均可通過邊連接到其他頂，包括間接。

- 無向非連通圖Unconnected Undirected graph:即不是無向連通圖Connected Undirected graph。

完全圖Complete graph:每個頂能直接到其他頂。對於無向圖至少需要V(V-1)/2個頂，有向圖至少需要V（V - 1）個頂。

用數據結構表示：

用二維數組（Matrix）表示：

注意：未連接用無窮大表示，而不是用0表示。

復雜度O(V²)

用鏈表表示：

復雜度O(V + E)

圖的遍歷Traversal

Depth-first search(DFS)深度優先搜索，使用stack實現，基於stack先進后出的特性。

Breadth first search(BFS)廣度優先搜索，使用queue實現，基於queue先進先出的特性。

圖的拓撲：應用於有向無環圖（Directed Acyclic Graphs，簡稱DAG）

　　Topological sort: a partial ordering that fulfils certain constraints. All edges e(i, j) go in horizontal i -> j direction

　　變成水平排列，只能從左邊指向右邊。

　　拓撲涉及的概念：

　　　　indegree：該頂被邊到達的次數。

　　　　outdegree：由該頂開始邊連接的次數。

　　能有拓撲結構，DAG圖必須滿足有一個source(indegree為0)和sink(outdegree為0)。

　　如果在DAG圖中存在漢密爾頓路徑(Hamiltonian path，即從某個頂開始通過邊不重復的經過所有點的路徑，想想游戲一筆畫)，則該拓撲是唯一的。

　　代碼：https://github.com/Will-Zhu-27/Algorithms-and-Data-Structures/tree/master/graph/Topological%20sort

算法：

Dijkstra's algorithm for single source shortest path

Dijkstra單源最短路徑算法：一個頂到其他頂的最短路徑。

基於Greedy algorithm: 最短路徑中的子路徑也是最短路徑，即A到Y的最短路徑經過X，那么該路徑中從A到X的部分是A到X的最短路徑。

假定沒有負值的邊。

使用優先隊列priority queue。

步驟：

　　使用變量數組dist記錄從目標定到該頂的最短距離，數組pred記錄經過該頂的前一個頂，edgeWeight(a, b)：頂a到頂b邊的值。

1. 將dist自己到自己為0，其余最大(MAX_INT)。pred均為NULL。
2. 將所有頂裝入優先隊列，按照對應的dist值的大小為優先度。
3. 當優先隊列不為空時，pop一個頂a，為空則結束。
4. LOOP：如果dist[a] + edgeWeight(a, b) < dist[b]，b為跟頂a有邊連接的頂，則更新頂b的信息：dist[b] = dist[a] + edgeWeight(a, b)，pred[b] = a，更新優先隊列中的順序(也可pop時再根據有限度pop)。
5. 步驟3。

　　　　復雜度分析：

　　　　實現代碼：https://github.com/Will-Zhu-27/Algorithms-and-Data-Structures/tree/master/graph/shortestPaths/dijkstra

Warshall algorithm for transitive closure -- unconnected directed graph

Warshall算法：用於判斷有向圖中頂與頂之間是否能通過邊聯通（包括間接的）。

　　用二維數組儲存基礎（直接）邊連接的信息，使用三次循環。

　　　　其中i for intermediate, s for source, t for to，循環變量怎么命名的並不重要，重要的是最外圈的循環變量i必須作為判斷的中間變量，改變它的位置會導致算法出錯。我的理解為：算法是基於貪心算法，

　　　　當循環到 i 時，就要得到通過 0 到 i 是否有最短路徑，然后逐漸增大i達到在全部頂中的最短路徑。此問題也可看在知乎上的這個問題的回答：https://www.zhihu.com/question/30955032

Floyd-Warshall algorithm for all pairs shortest paths

Floyd-Warshall算法：圖中每個頂到其他頂的最短路徑。

　　在Warshall的基礎上稍作改變，二維數組儲存的是頂之間weight的信息。

同樣的，最外圈的循環變量i必須作為判斷的中間變量！另外用C實現時，雖然圖里不連接用了∞表示， C中用 INT_MAX / 2 表示，因為if 判斷時會產生數據溢出問題。

要記錄路徑也只要加個二維數組記錄即可。

復雜度：θ(V³)

代碼：https://github.com/Will-Zhu-27/Algorithms-and-Data-Structures/tree/master/graph/AllPairsShorestPaths/Floyd-Warshall

Floyd-Warshall和dijkstra在計算all pairs shorest paths上的優劣：

　　循環V次dijkstra也可得到全部頂的最短路徑，復雜度為：O((V² + V * E)logV)

　　Floyd-Warshall復雜度為θ(V³)。

　　對於sparse graph with positive edge weights（V>>E），Dijkstra用於all pair shortest path更好

　　　　對於dense graph with positive edge weights(E>>V) Floyd-Warshall更好

最小生成樹 Minimum Spanning Tree, MST

　　要求：

　　　　undirected weighted graphs

　　　　Graph must be connected 無向非連通圖

　　MST特點：

　　　　包括所有的頂

　　　　minimum sum of edge weights，包含連接頂的邊和最小，數量為V-1

　　　　MST中沒有循環（cycles）。

　　簡言之，使用最小weight的edge將所有頂連接到。

　　如果所有的edge的weight不同，那么MST是唯一的。

　　計算MST的算法有Prim和Kruskal。

　　Prim：通過添加下一個最近的頂完成MST。

　　　　需要使用優先隊列。

　　　　准備：dist[V]初值MAX，pred[V]初值NULL，inMst[V]初值FALSE。

　　　　步驟：

1. 將某一頂（隨便那個）作為起始點root，dist[ root ] = 0。將全部頂enqueue優先隊列，以dist為優先級。
2. pop一個頂a，所有與a直接相連的頂b：如果inMst[b]==FALSE && a到b的edge < dist[b]，則更新dist[b]等於該edge，更新pred[b]=a，調整優先隊列中的順序。
3. inMst[a] = TRUE;
4. 優先隊列為空->結束，不為空->步驟2

　　　　若手工計算，以a為起始點為例，與a相連的有b和c，到b更短，選b。