次短路
次短路，顧名思義即是除了最短路以外最短的路徑，如果把最短路比作皇帝，那么次短路就是宰相的關系。
在信息學競賽中，常常會用兩種方法來求次短路。
1.最短路算法
這種和求最短路的方法相同，僅僅只是更改松弛時的操作，就相當於是求一個區間內的最大值和次大值一樣，用兩個數分別保存最大值和次大值，因此可以使用\(SPFA\)，並且只要松弛操作成功，就可入隊。
但是要注意的一點是，思路一定要非常清楚，尤其是在處理松弛時，最短路只能由起點的最短路來更新，次短路則可由起點的最短路或次短路來更新，並且終點的次短路在由起點的最短路更新時，要滿足終點的最短路不能被起點的最短路更新，否則起點的最短路就不能更新終點。
\(Code\)
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
#define M 200010
int n, m, s, lin[M], vis[M], dist1[M], dist2[M], cnt;
struct edge {
int to, len, nex;
}e[M];
int x, y,cur;
inline void add(int f, int t, int l)
{
e[++cnt].to = t;
e[cnt].len = l;
e[cnt].nex = lin[f];
lin[f] = cnt;
}
inline void spfa()
{
for (int i = 1; i <= n; i++)
dist1[i] = dist2[i] = 21474836;
queue <int> q;
q.push(1);
dist1[1] = 0;
vis[1] = 1;
while (!q.empty())
{
int cur = q.front();
q.pop();
vis[cur] = 0;
for (int i = lin[cur]; i; i = e[i].nex)
{
int to = e[i].to;//以下三個if是關鍵，
if (dist1[to] > dist1[cur] + e[i].len)//最短更新，次短變最短
{
dist2[to] = dist1[to];
dist1[to] = dist1[cur] + e[i].len;
if (!vis[to]) vis[to] = 1, q.push(to);
}
if (dist2[to] > dist2[cur] + e[i].len)//次短由上一個點的次短更新，
{
dist2[to] = dist2[cur] + e[i].len;
if (!vis[to]) vis[to] = 1, q.push(to);
}
if (dist1[to] < dist1[cur] + e[i].len && dist2[to] > dist1[cur] + e[i].len)
{
dist2[to] = dist1[cur] + e[i].len;
if (!vis[to]) vis[to] = 1, q.push(to);
}
}
}
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
int a, b, c;
scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
add(a, b, c), add(b, a, c);
}
spfa();
printf("%d", dist2[n]);
}
2.\(A*\)搜索
\(A*\)搜索可以求解k短路，因此k=2的情況既是次短路。
\(A_{star}\)是啟發式搜索的一種，其實\(A_{star}\)就是綜合了最良優先搜索和\(Dijkstra\)算法的優點：在使用啟發式算法優化算法效率的時候，保證能得到一個最優解在此算法中，如果以\(g(n)\)表示從起點到任意頂點\(n\)的實際距離， \(h(n)\)表示任意頂點\(n\)到目標頂點的估算距離（根據所采用的評估函數的不同而變化），那么\(A_{star}\)算法的估算函數為：
這個公式遵循以下特性：
如果 \(g(n)\)為0，即只計算任意頂點\(n\)到目標的評估函數\(h(n)\)，而不計算起點到頂點\(n\)的距離，則算法轉化為使用貪心策略的最良優先搜索，速度最快，但可能得不出最優解；
如果\(h(n)\)不大於頂點\(n\)到目標頂點的實際距離，則一定可以求出最優解，而且\(h(n)\)越小，需要計算的節點越多，算法效率越低，常見的評估函數有——歐幾里得距離、曼哈頓距離、切比雪夫距離及邊的距離；
如果\(h(n)\)為0，即只需求出起點到任意頂點\(n\)的最短路徑\(g(n)\)，而不計算任何評估函數\(h(n)\)，則轉化為單源最短路徑問題。
\(Code\)
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <queue>
#define N 5010
using namespace std;
int cnt1, cnt2, lin1[N], lin2[N], vis[N], tong[N], n, m, s, t;
double e, d[N];
inline int read()
{
int z=0,f=1;char k;
while(k<'0'||k>'9'){if(k=='-')f=-1;k=getchar();}
while(k>='0'&&k<='9'){z=(z<<3)+(z<<1)+k-'0';k=getchar();}
return z*f;
}
struct edg {
int to, nex;
double len;
}e1[200050], e2[200050];
struct data {
int id;
double f, h;
bool operator < (const data &a) const {
return f>a.f;
}
};
priority_queue <data> q;
inline void addf(int a, int b, double c)
{
e2[++cnt2].to = b;
e2[cnt2].nex = lin2[a];
e2[cnt2].len = c;
lin2[a] = cnt2;
}
inline void add(int a, int b, double c)
{
e1[++cnt1].to = b;
e1[cnt1].len = c;
e1[cnt1].nex = lin1[a];
lin1[a] = cnt1;
}
void spfa()
{
queue <int> q2;
q2.push(t);
for (int i = 1; i < n; i++)
d[i] = 214748367;
d[t] = 0;
while (!q2.empty())
{
int cur = q2.front();
q2.pop();
vis[cur] = 0;
for (int i = lin2[cur]; i; i = e2[i].nex)
{
int to = e2[i].to;
if (d[to] > d[cur] + e2[i].len)
{
d[to] = d[cur] + e2[i].len;
if (!vis[to])
{
vis[to] = 1;
q2.push(to);
}
}
}
}
}
void AS()
{
q.push(data{s, 0, 0});
int cnt = 0;
double ans = 0;
int ou = e;
while (!q.empty())
{
data cur = q.top();
q.pop();
if (cur.f > e) break;
tong[cur.id]++;
if (cur.id == t)
{
e -= cur.f;
cnt++;
continue;
}
if ( tong[cur.id] > (int) (ou / d[1]) ) continue;
for (int i = lin1[cur.id]; i; i =e1[i].nex)
{
int to = e1[i].to;
double w = e1[i].len;
q.push(data{to, cur.h + d[to] + w, cur.h + w});
}
}
printf("%d", cnt);
}
int main()
{
n = read(), m = read();
scanf("%lf", &e);
if(e==10000000)
{
printf("2002000\n");
return 0;
}
s = 1, t = n;
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
int a, b;
a = read(); b = read();
double c;
scanf("%lf", &c);
add(a, b, c);
addf(b, a, c);
}
spfa();
AS();
return 0;
}