前言
最近遇到一個問題，需要在以一個坐標為中心的區域內生成一組均勻分布的隨機點，首先想到的就是以圓作為區域。
圓內隨機點
方法1:
根據\(x^{2}+y^{2}=R^{2}\),那么自讓想到可以先隨機生成[-R,R]間的橫坐標x，然后生成[\(-\sqrt{R^{2}-X^{2}},\sqrt{R^{2}-X^{2}}\)]范圍內的隨機數y，那么(x,y)自然也就是在圓內的隨機點了。
寫一段代碼看一看:
def random_point_in_circle(point_num, radius):
for i in range(2,point_num+1):
x=random.uniform(-radius,radius)
y_max=math.sqrt(radius*radius-x*x)
y=random.uniform(-y_max,y_max)
plt.plot(x,y,'*',color="blue")
def main():
pi = np.pi
theta = np.linspace(0, pi * 2, 1000)
R = 1
x = np.sin(theta) * R
y = np.cos(theta) * R
plt.figure(figsize=(6, 6))
plt.plot(x, y, label="cycle", color="green", linewidth=2)
plt.title("random_points_in_circle")
random_point_in_circle(4000, R)
plt.legend()
plt.show()
if __name__=="__main__":
main()
看到這個圖應該立刻就知道哪里出錯了，當x越靠近圓的邊緣的話，y的范圍就會越小，所以兩邊邊緣的點會非常密集，不能算"均勻分布"。
方法2:
然后就會想到能否利用面積這個概念呢？因為上一個方法出錯在邊緣處，即y的范圍會隨着x的范圍的變化而發生變化，所以如果在一個矩形區域內生成隨機點，就會是均勻分布的；然后如果在圓內就保留下來這個點:
def random_point_in_circle(point_num, radius):
for i in range(2,point_num+1):
while True:
x=random.uniform(-radius,radius)
y=random.uniform(-radius,radius)
if(x**2)+(y**2)<(radius**2):
break
plt.plot(x,y,'*',color="blue")
def main():
pi = np.pi
theta = np.linspace(0, pi * 2, 1000)
R = 1
x = np.sin(theta) * R
y = np.cos(theta) * R
plt.figure(figsize=(6, 6))
plt.plot(x, y, label="cycle", color="green", linewidth=2)
plt.title("random_points_in_circle")
random_point_in_circle(4000, R)
plt.legend()
plt.show()
if __name__=="__main__":
main()
效果很OK:
但是這種方法的缺點就是會有較大的開銷，想想看我們是按矩形范圍內產生的點，最后會在圓內的點的概率只有\(\frac{\pi R^{2}}{(2R)^{2}}=\frac{\pi}{4}\)
方法3:
那么我們能否考慮用極坐標呢，可以消除y的范圍對x的范圍敏感的問題。利用\(x=R*cos(\theta)\)與\(y=R*sin(\theta)\)，先隨機生成[\(0,2\pi\)]內的\(\theta\)，然后隨機生成[0,R]內的r:
def random_point_in_circle(point_num, radius):
for i in range(2,point_num+1):
theta=random.random()*2*np.pi
r=random.uniform(0,radius)
x=r*math.cos(theta)
y=r*math.sin(theta)
plt.plot(x,y,'*',color="blue")
def main():
pi = np.pi
theta = np.linspace(0, pi * 2, 1000)
R = 1
x = np.sin(theta) * R
y = np.cos(theta) * R
plt.figure(figsize=(6, 6))
plt.plot(x, y, label="cycle", color="green", linewidth=2)
plt.title("random_points_in_circle")
random_point_in_circle(4000, R) # 修改此處來顯示不同算法的效果
plt.legend()
plt.show()
if __name__=="__main__":
main()
邊緣的點會比較稀疏的原因是這樣的，由於r是在[0,R]之間等概率產生的，所以可以認為同一個r的生成的隨機點是相同的，但是圓的半徑會變大，同樣數量的點就會顯得稀疏了。
方法4:
在這里我們先引入一條定理:令\(R=r^{2}\),R在[0,1]上是均勻分布，\(\theta\)在[\(0,2\pi\)]上是均勻分布，且R與\(\theta\)相互獨立，令$$x=rcos(\theta)=\sqrt{R}cos(\theta)$$
那么我們有(x,y)是均勻分布。
如果要證明(x,y)是均勻分布，由對稱性我們只需要證明(x,y)在第一象限為均勻分布即可，即需要證明(x,y)的聯合概率密度\(f(x,y)=\frac{1}{S}=\frac{1}{\pi /4}\)
首先我們知道連續性隨機向量變換的聯合分布的一個定理:
設(X,Y)是聯合概率密度為\(f(x,y)\)的連續性隨機向量，\(g_{1}(x,y),g_{2}(x,y)\) \(\xi=g_{1}(X,Y), \eta=g_{2}(X,Y)\)。如果對任何非負連續的二元函數\(h(\mu,\upsilon)\)成立，則有:
放上代碼:
def random_point(car_num,radius):
for i in range(1, car_num + 1):
theta = random.random() * 2 * np.pi
r = random.uniform(0, radius)
x = math.cos(theta) * (r ** 0.5)
y = math.sin(theta) * (r ** 0.5)
plt.plot(x, y, '*', color="blue")
def main():
pi = np.pi
theta = np.linspace(0, pi * 2, 1000)
R = 1
x = np.sin(theta) * R
y = np.cos(theta) * R
plt.figure(figsize=(6, 6))
plt.plot(x, y, label="cycle", color="green", linewidth=2)
plt.title("random_points_in_circle")
random_point(4000, R) # 修改此處來顯示不同算法的效果
plt.legend()
plt.show()
if __name__=="__main__":
main()
結果如下:
應該是比較滿意的了。