[LeetCode] 478. Generate Random Point in a Circle 生成圓中的隨機點

 

Given the radius and x-y positions of the center of a circle, write a function randPoint which generates a uniform random point in the circle.

Note:

1. input and output values are in floating-point.
2. radius and x-y position of the center of the circle is passed into the class constructor.
3. a point on the circumference of the circle is considered to be in the circle.
4. randPoint returns a size 2 array containing x-position and y-position of the random point, in that order.

Example 1:

Input: 
["Solution","randPoint","randPoint","randPoint"]
[[1,0,0],[],[],[]] Output: [null,[-0.72939,-0.65505],[-0.78502,-0.28626],[-0.83119,-0.19803]] 

Example 2:

Input: 
["Solution","randPoint","randPoint","randPoint"]
[[10,5,-7.5],[],[],[]] Output: [null,[11.52438,-8.33273],[2.46992,-16.21705],[11.13430,-12.42337]]

Explanation of Input Syntax:

The input is two lists: the subroutines called and their arguments. Solution's constructor has three arguments, the radius, x-position of the center, and y-position of the center of the circle. randPoint has no arguments. Arguments are always wrapped with a list, even if there aren't any.

 

這道題給了我們一個圓，包括中點位置和半徑，讓隨機生成圓中的任意一個點。這里說明了圓上也當作是圓中，而且這里的隨機意味着要等概率。思緒飄回了高中時代，努力搜索着那一絲絲殘留的記憶，終於，博主把還給老師的知識又要了回來，圓的方程表示為 (x - a) ^ 2 + (y - b) ^ 2 = r ^ 2，這里的 (a, b) 是圓心位置，r為半徑。那么如何生成圓中的任意位置呢，如果用這種方式來生成，先隨機出一個x，隨機出y的時候還要考慮其是否在圓中間，比較麻煩。繼續回到高中時代，模糊的記憶中飄來了三個字，極坐標。是的，圓還可以用極坐標的形式來表示，只需隨機出一個角度 theta，再隨機出一個小於半徑的長度，這樣就可以得到圓中的坐標位置了，哦耶～ 先來生成 theta吧，由於一圈是 360 度，即 2pi，所以隨機出一個 [0, 1] 中的小數，再乘以 2pi，就可以了。然后就是隨機小於半徑的長度，這里有個問題需要注意一下，這里並不是直接隨機出一個 [0, 1] 中的小數再乘以半徑r，而是要對隨機出的 [0, 1] 中的小數取個平方根再乘以半徑r。這是為啥呢，簡單來說，是為了保證等概率。如果不用平方根的話，那么表示圓的時候 (len * cos(theta)) ^ 2 + (len * sin(theta) ^ 2，這里就相當於對隨機出的 [0, 1] 中的小數平方了，那么其就不是等概率的了，因為兩個小於1的小數相乘了，其會更加靠近0，這就是為啥要平方一下的原因。最后在求點位置的時候要加上圓心的偏移即可，參見代碼如下：

 

解法一：

class Solution {
public:
    Solution(double radius, double x_center, double y_center) {
        r = radius; centerX = x_center; centerY = y_center;
    }
    
    vector<double> randPoint() {
        double theta = 2 * M_PI * ((double)rand() / RAND_MAX);
        double len = sqrt((double)rand() / RAND_MAX) * r;
        return {centerX + len * cos(theta), centerY + len * sin(theta)};
    }

private:
    double r, centerX, centerY;
};

 

我們也可以不用極坐標來做，由於之前剛做過 Implement Rand10() Using Rand7()，對其中的拒絕采樣 Rejection Sampling 還有印象，所以也可以用其來做。這其實就是拒絕采樣的經典應用，在一個正方形中有均勻分布的點，隨機出其內切圓中的一個點，那么就是隨機出x和y之后，然后算其平方和，如果小於等於r平方，說明其在圓內，可以返回其坐標，記得加上圓心偏移，否則重新進行采樣。關於拒絕采樣的方法可以參見博主之前那篇博客 Implement Rand10() Using Rand7()，參見代碼如下：

 

解法二：

class Solution {
public:
    Solution(double radius, double x_center, double y_center) {
        r = radius; centerX = x_center; centerY = y_center;
    }
    
    vector<double> randPoint() {
        while (true) {
            double x = (2 * (double)rand() / RAND_MAX - 1.0) * r;
            double y = (2 * (double)rand() / RAND_MAX - 1.0) * r;
            if (x * x + y * y <= r * r) return {centerX + x, centerY + y};
        }
    }

private:
    double r, centerX, centerY;
};

 

Github 同步地址：

https://github.com/grandyang/leetcode/issues/478

 

類似題目：

Implement Rand10() Using Rand7()

 

參考資料：

https://leetcode.com/problems/generate-random-point-in-a-circle/

https://leetcode.com/problems/generate-random-point-in-a-circle/discuss/154405/C%2B%2B-solution-polar-coordinates

https://leetcode.com/problems/generate-random-point-in-a-circle/discuss/169518/C%2B%2B-AC-solution-using-rejection-sampling

https://leetcode.com/problems/generate-random-point-in-a-circle/discuss/155650/Explanation-with-Graphs-why-using-Math.sqrt()

 

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