數獨高階技巧入門之一：鏈及其簡單應用

鏈（Chain）是數獨高階技巧的核心，所有數獨盤勢都可以通過各種或簡單或復雜的鏈來解出答案。鏈的本質是命題之間的關系，在解數獨時，每個填數的步驟都可表現為在『A格中填入1』、『B格中填入2』這樣非真即假的直言命題形式，如果條件不充足，命題真假不能判定，我們把數獨中這種命題之間的真假關系稱之為鏈。用鏈解題的邏輯在於，籍由命題真假值的推導，根據鏈兩端點命題的真假來判斷其共同作用格內候選數的真假。

強關系（Strong Links）和弱關系（Weak Links）

鏈可分為強鏈與弱鏈，分別由強關系和弱關系構成，定義如下：

強關系——對應矛盾關系和下反對關系，兩個命題不可同假，必有一真（下反對關系可以同真）；

弱關系——對應矛盾關系和上反對關系，兩個命題不可同真，必有一假（上反對關系可以同假）。

 

 

圖1-矛盾關系

​圖1小九宮格中，數字A只可能出現在R1C1和R3C3兩個格中。根據數獨規則，數字1-9在每個Unit（行Row、列Column、宮Box）中均需出現且僅出現1次，易知兩個A之間為矛盾關系，兩者不可同假，必為一真一假，可作出判斷：(1)若 R1C1≠A，則R3C3=A，兩個A之間為強關系，構成強鏈，記作R1C1{A}==R3C3{A}；(2)若R1C1=1，則R3C3≠1，兩個A之間為弱關系，構成弱鏈，記作R1C1{1}—R3C3{1}。

 

圖2-上反對關系

​再看一個例子，圖2中，數字A僅能出現在三個格中，根據數獨規則，可知必有一個A為真，其余兩個為假，則三個A兩兩之間不能同真，為上反對關系，可作出以下判斷：(1)若R1C1=A，則R2C2、R3C3≠A；(2)若R2C2=A，則R1C1、R3C3≠A；(3)若R3C3=A，則R1C1、R2C2≠A。

在本例中，存在三條弱鏈，分別是R1C1{A}—R2C2{A}, R1C1{A}—R3C3{A}, R2C2{A}—R3C3{A}。

在以上兩例中，可以看到，當某單元內特定候選數僅存在於兩個格中時，兩格中的該候選數是矛盾關系，二者之間既構成強鏈也構成弱鏈。而當該候選數存在於三個及以上格中時，兩兩之間是上反對關系，構成弱鏈。

 

圖3-矛盾關系、上反對關系

強弱關系並不只局限於同一候選數，在圖3九宮格中，R1C1中僅存在候選數A、B，R3C3中僅存在候選數A、B、C。如前兩例，我們可知，R1C1格中的A和B為矛盾關系，二者之間即是強鏈也是弱鏈，R3C3中的A、B、C兩兩之間為上反對關系，構成弱鏈。

 

圖4-下反對關系、ALS

圖4是復雜一點的情況，R1C1、R23C2三格中共有{1234}四個候選數（這種n格中有n+1個候選數的結構稱為ALS——Almost Locked Set），根據數獨規則，可知這四個候選數中有且只有一個為假，由強弱鏈定義易知1、2、3和4之間，兩兩互為強鏈。與前述矛盾關系的例子不同，本例{1234}中必有三個為真，則其兩兩之間為下反對關系，可以同真，不能構成弱鏈。

鏈是如何工作的

以上我們對強弱鏈有了基本的了解，接下來我們把鏈連接起來看看會發生什么。首先是強弱強鏈，A==B—C==D，我們根據強弱鏈的定義，畫出真值表（只保留有效推導）

 

圖5-強弱強鏈真值表

由圖5可以看到，不論A取真值還是假值，在鏈的起點A和終點D中至少有一真，即A與D之間為強關系。我們僅考慮A為假的情況（若其為真，則已經可以用來刪數），當A為假時，由於A、B、C、D由強弱鏈交替連接，推導如下：(1)若A為假，根據強鏈定義B只能為真；(2)若B為真，根據弱鏈定義C只能為假；(3)若C為假，根據強鏈定義D只能為真。

可見這種情況下只存在有一種有效推導形式，即A假D真，顯然，只要保證以強鏈始以強鏈終，  即使將這條鏈不斷延長下去仍可得出同樣結論：若起點為假則終點必然為真。綜上可知，強弱強鏈的兩端點互為強關系，必有一個為真。

我們再來看弱強弱鏈的推導。A—B==C—D，真值表如下：

 

圖6-弱強弱鏈真值表

可見A與D中至少有一假，二者互為弱關系。將其不斷延長，結果仍會是這樣，推導過程不再贅述。這種情況不能直接用來刪減A、D共同作用格的候選數。

 

圖7-強強強鏈真值表

如果將三條強鏈連接又會如何呢？A==B==C==D，從圖7真值表中可以看到，鏈的兩端點A和D一真一假、全真全假都有可能，也沒有刪減效果。

由以上推導我們可以總結，在數獨解題過程中，鏈的工作模式是，找到數獨盤勢中的強鏈，用弱鏈將之連接，在此過程中保證強弱交替，以強鏈始以強鏈終，則鏈的兩端點互為強關系，必有一真，若其存在共同作用格，則可對共同作用格內的相應候選數進行刪減。

鏈的簡單應用

來看一個例子，在圖8的盤勢中，可以找到一條從R1C4到R4C6的5的鏈（實線代表強鏈，虛線代表弱鏈，R1C4{5}==R1C9{5} — R4C9{5}==R4C6{5}），這條鏈強弱交替，且以強鏈始以強鏈終，可知R1C4的5與R4C6的5互為強關系，必有一個成立，不管哪個成立都可以刪去R1C4、R4C6共同作用格（綠色區域）里的5。推導過程如右：(1)若 R1C4=5，則R2C6、R5C4≠5；(2)若R1C4≠5 → R1C9=5 → R4C9≠ 5 → R4C6=5，則 R2C6、R5C4≠5。

 

圖8-Skyscraper

ps：上圖中的結構稱為摩天樓（Skyscraper），是雙強鏈（強弱強鏈）的一種基礎應用。

再看一個稍微復雜點的例子，在圖9盤勢中，可以找到一條從R4C6到R6C1的6的鏈（實線箭頭代表強鏈，虛線代表弱鏈），可知R4C6與R6C1中的6互為強關系，必有一個成立，故可刪去R4C6與R6C1共同作用格（綠色區域）內的6。大家可自行推導以加強對鏈的掌握。

 

圖9-異數鏈

作者：零時四分_719b
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來源：簡書
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