摘要
對偶模型建模是非常有獨特的一種建模方式 —— 當問題本身要求指標極小的情況下，對偶模型表現為求極大。本文給出三種最短路徑問題的線性規划/混合整數規划模型，其中的第三類最短路徑問題采用對偶建模方法。一般情況下采用對偶模型建模並非為對偶而對偶，原因是有些問題采用對偶方式更容易表達。值得注意的是對偶模型的非最優可行解是被建模問題的非可行解，但對偶最優解既是被建模問題的可行解又是被建模問題的最優解。
本文及本博客中所有博文均為原創！
名詞及知識點
對偶模型建模 —— 通過對偶方式把實際問題建模為原問題的對偶模型，對偶模型的特征之一是模型目標的極大極小方向與實際問題的極大極小方向正好相反 （不好懂？正常！看第三個模型你就秒懂）。
點對最短路徑問題——在一個有向圖（或無向圖，本文都以有向圖為例）上指定節點對 $start$和$end$, 求從$start$到$end$的最短路徑。
單點最短路徑問題——在一個有向圖（或無向圖）上指定單個節點start, 求從start到所有節點的最短路徑。
全最短路徑問題——對一個有向圖 $G=(V,E)$, 求所有點對 $i \in V$, $j \in V$ 的最短路徑。
邊和節點的符號定義
對圖$G=(V,E)$, 其中$V$是節點集合， $E$是邊的集合，對邊進行編號k=1,...,m, 對節點進行編號j=1,...,n。對邊k, 其第一個頂點記為alpha[k]，簡記為a[k];第二個頂點記為beta[k]，簡記為b[k]。邊k上的權（長度）記為c[k]。
問題1：點對最短路徑
問題：求下圖從節點1到節點11的最短路徑。
建模：點對最短路徑的模型常見於各大教科書中。
用0-1變量x[i][j] 表示邊 (i,j) 是否被包含在從$start$到$end$的最短路徑中，x[i][j]=1表示包含在內，x[i][j]=0表示不包含在內。使用邊記號k進行累和，路徑的長度為sum{k=1,...,m} c[k] x[a[k]][b[k]]。用主建模方法，目標為：
minimize sum{k=1,...,m} c[k] x[a[k]][b[k]] //(1)
對任意的節點i，如果i≠start並且i≠end, 則無論其在路徑上與否，其入次sum{*}x[*][i]和出次sum{*}x[i][*]必須相等。於是有如下約束：
sum{k=1,...,m;b[k]==i}x[a[k]][i] = sum{k=1,...,m;a[k]==i}x[i][b[k]] | i=1,...,n; i<>start;i<>end //(2)
對於start節點來說，其出次等於1；對end節點來說，其入次等於1。即：
sum{k=1,...,m;a[k]==start}x[start][b[k]]=1 //(3)
sum{k=1,...,m;b[k]==end}x[a[k]][end]=1 //(4)
完整+Leapms模型：
min sum{k=1,...,m}x[a[k]][b[k]]c[k] //(1)
subject to
sum{k=1,...,m;b[k]==i}x[a[k]][i] = -->
sum{k=1,...,m;a[k]==i}x[i][b[k]]-->
|i=1,...,n; i<>start;i<>end //(2)
sum{k=1,...,m;a[k]==start}x[start][b[k]]=1 //(3)
sum{k=1,...,m;b[k]==end}x[a[k]][end]=1 //(4)
where
m,n,start,end are integers
e are sets
a[k],b[k],c[k] are numbers|k=1,...,m
x[i][j] is a variable of binary|i=1,...,n;j=1,...,n;i<>j
data_relation
m=_$(e)/3
a[k]=e[3k-2] | k=1,...,m
b[k]=e[3k-1] | k=1,...,m
c[k]=e[3k] | k=1,...,m
n=0
n=max(n,a[k])| k=1,...,m
n=max(n,b[k])| k=1,...,m
data
start=1
end=11
e={
1 2 12
1 3 16
1 4 7
1 5 21
2 6 5
3 6 6
3 7 3
4 7 5
5 9 15
5 13 11
6 8 4
7 8 9
7 9 27
8 10 24
8 12 9
9 11 23
9 14 5
10 11 8
11 14 16
12 9 10
12 10 14
13 9 6
13 14 12
}
在+Leapms環境中使用load, mip命令求解過程如下（請展開查看）：
+Leapms>load
Current directory is "ROOT".
.........
ShortestPath1.leap
ShortestPath2.leap
ShortestPath3.leap
ShortestPath4.leap
.........
please input the filename:ShortestPath1
================================================================
1: min sum{k=1,...,m}x[a[k]][b[k]]c[k] //(1)
2: subject to
3: sum{k=1,...,m;b[k]==i}x[a[k]][i] = -->
4: sum{k=1,...,m;a[k]==i}x[i][b[k]]-->
5: |i=1,...,n; i<>start;i<>end //(2)
6:
7: sum{k=1,...,m;a[k]==start}x[start][b[k]]=1 //(3)
8: sum{k=1,...,m;b[k]==end}x[a[k]][end]=1 //(4)
9:
10: where
11: m,n,start,end are integers
12: e are sets
13: a[k],b[k],c[k] are numbers|k=1,...,m
14: x[i][j] is a variable of binary|i=1,...,n;j=1,...,n;i<>j
15:
16: data_relation
17: m=_$(e)/3
18: a[k]=e[3k-2] | k=1,...,m
19: b[k]=e[3k-1] | k=1,...,m
20: c[k]=e[3k] | k=1,...,m
21: n=0
22: n=max(n,a[k])| k=1,...,m
23: n=max(n,b[k])| k=1,...,m
24: data
25: start=1
26: end=11
27: e={
28: 1 2 12
29: 1 3 16
30: 1 4 7
31: 1 5 21
32: 2 6 5
33: 3 6 6
34: 3 7 3
35: 4 7 5
36: 5 9 15
37: 5 13 11
38: 6 8 4
39: 7 8 9
40: 7 9 27
41: 8 10 24
42: 8 12 9
43: 9 11 23
44: 9 14 5
45: 10 11 8
46: 11 14 16
47: 12 9 10
48: 12 10 14
49: 13 9 6
50: 13 14 12
51: }
52:
53:
================================================================
>>end of the file.
Parsing model:
1D
2R
3V
4O
5C
6S
7End.
..................................
number of variables=182
number of constraints=14
..................................
+Leapms>mip
relexed_solution=52; number_of_nodes_branched=0; memindex=(2,2)
The Problem is solved to optimal as an MIP.
找到整數規划的最優解.非零變量值和最優目標值如下：
.........
x1_4* =1
x4_7* =1
x7_8* =1
x8_12* =1
x10_11* =1
x12_10* =1
.........
Objective*=52
.........
+Leapms>
求解結果，路徑長52，路徑如圖。
問題2：單點最短路徑
問題：求問題1圖從節點start=1到其余所有節點的最短路徑。
建模：單點最短路徑模型在教科書中不常見，但求此問題的Dijkstra算法很普及。
以下建模方法為本文未參考任何其他書籍和文章情況下的原創，但不能保證類似模型未曾出現在其他書或文中：
設從start到節點i的最短路徑長度為d[i]。
采用主模型建模，目標顯然可以是：
minimize sum{i=1,...,n}d[i] //(5)
從節點start到自身的最短路徑長度為0：
d[start]=0 //(6)
用0-1變量x[i][j] 表示邊 (i,j) 是否被包含在從$start$到其余節點的最短路徑上，於是對任意定點i≠start, 其入次和sum{*}x[*][i] 等於1。即：
sum{k=1,...,m;b[k]==i}x[a[k]][i]=1|i=1,...,n; i<>start //(7)
如果邊k在任意最短路徑上，那么到b[k]節點的最短路徑長度d[b[k]]將不小於到b[k]的緊前節點a[k]的最短路徑長度d[a[k]]加邊k的長度c[k]，即：
d[b[k]]> = d[a[k]] + c[k] - (1-x[a[k]][b[k]])bigM | k=1,...,m //(8)
約束（8）中的bigM是足夠大的數。例如取為所有變長的和即可。
完整+Leapms模型：
minimize sum{i=1,...,n}d[i] //(5)
subject to
d[start]=0 //(6)
sum{k=1,...,m;b[k]==i}x[a[k]][i]=1|i=1,...,n; i<>start //(7)
d[b[k]]>= d[a[k]]+c[k]-(1-x[a[k]][b[k]])bigM | k=1,...,m //(8)
where
m,n,start are integers
e are sets
bigM is a number
a[k],b[k],c[k] are numbers|k=1,...,m
d[i] is a variable of nonnegative number|i=1,...,n
x[i][j] is a variable of binary|i=1,...,n;j=1,...,n;i<>j
data_relation
m=_$(e)/3
a[k]=e[3k-2] | k=1,...,m
b[k]=e[3k-1] | k=1,...,m
c[k]=e[3k] | k=1,...,m
n=0
n=max(n,a[k])| k=1,...,m
n=max(n,b[k])| k=1,...,m
bigM=sum{k=1,...,n}c[k]
data
start=1
e={
1 2 12
1 3 16
1 4 7
1 5 21
2 6 5
3 6 6
3 7 3
4 7 5
5 9 15
5 13 11
6 8 4
7 8 9
7 9 27
8 10 24
8 12 9
9 11 23
9 14 5
10 11 8
11 14 16
12 9 10
12 10 14
13 9 6
13 14 12
}
在+Leapms環境中使用load, mip命令求解過程如下（請展開查看）：
+Leapms>load
Current directory is "ROOT".
.........
ShortestPath1.leap
ShortestPath2.leap
ShortestPath3.leap
ShortestPath4.leap
.........
please input the filename:shortestPath3
================================================================
1: minimize sum{i=1,...,n}d[i] //(5)
2: subject to
3: d[start]=0 //(6)
4: sum{k=1,...,m;b[k]==i}x[a[k]][i]=1|i=1,...,n; i<>start //(7)
5: d[b[k]]>= d[a[k]]+c[k]-(1-x[a[k]][b[k]])bigM | k=1,...,m //(8)
6: where
7: m,n,start are integers
8: e are sets
9: bigM is a number
10: a[k],b[k],c[k] are numbers|k=1,...,m
11: d[i] is a variable of nonnegative number|i=1,...,n
12: x[i][j] is a variable of binary|i=1,...,n;j=1,...,n;i<>j
13:
14: data_relation
15: m=_$(e)/3
16: a[k]=e[3k-2] | k=1,...,m
17: b[k]=e[3k-1] | k=1,...,m
18: c[k]=e[3k] | k=1,...,m
19: n=0
20: n=max(n,a[k])| k=1,...,m
21: n=max(n,b[k])| k=1,...,m
22: bigM=sum{k=1,...,n}c[k]
23: data
24: start=1
25: e={
26: 1 2 12
27: 1 3 16
28: 1 4 7
29: 1 5 21
30: 2 6 5
31: 3 6 6
32: 3 7 3
33: 4 7 5
34: 5 9 15
35: 5 13 11
36: 6 8 4
37: 7 8 9
38: 7 9 27
39: 8 10 24
40: 8 12 9
41: 9 11 23
42: 9 14 5
43: 10 11 8
44: 11 14 16
45: 12 9 10
46: 12 10 14
47: 13 9 6
48: 13 14 12
49: }
50:
51:
================================================================
>>end of the file.
Parsing model:
1D
2R
3V
4O
5C
6S
7End.
..................................
number of variables=196
number of constraints=37
..................................
+Leapms>mip
relexed_solution=97; number_of_nodes_branched=0; memindex=(2,2)
The Problem is solved to optimal as an MIP.
找到整數規划的最優解.非零變量值和最優目標值如下：
.........
d2* =12
d3* =16
d4* =7
d5* =21
d6* =17
d7* =12
d8* =21
d9* =36
d10* =44
d11* =52
d12* =30
d13* =32
d14* =41
x1_2* =1
x1_3* =1
x1_4* =1
x1_5* =1
x2_6* =1
x4_7* =1
x5_9* =1
x5_13* =1
x6_8* =1
x8_12* =1
x9_14* =1
x10_11* =1
x12_10* =1
.........
Objective*=341
.........
+Leapms>
根據求解結果，路徑表現為根為start=1的樹：
全最短路徑問題對偶建模方法
問題：求問題1圖任意兩節點i,j之間的最短路徑。
建模：全最短路徑模型在教科書中及其少見，但教科書中普遍介紹求解此問題的floyd算法。
以下建模方法為本文未參考任何其他書籍和文章情況下的原創，但不能保證類似模型未曾出現在其他書或文中：
設節點i,j之間的最短路徑的長度為d[i][j], 采用對偶模型建模方法 —— 極大化所有d[i][j]之和！
maximize sum{i=1,...,n;j=1,...,n}d[i][j] //(9)
約束一、d[i][j] 不大於 i,j之間的邊長
d[i][j]<=D[i][j] | i=1,...,n;j=1,...,n //(10)
約束二、d[i][j] 不大於繞行第三點k的距離和，即d[i][j] <= d[i][k] + d[j][j] :
d[i][j]<=d[i][k]+d[k][j] -->
| i=1,...,n;j=1,...,n;k=1,...,n;i<>j;i<>k;j<>k //(11)
完整+Leapms模型：
maximize sum{i=1,...,n;j=1,...,n}d[i][j] //(9)
subject to
d[i][j]<=D[i][j] | i=1,...,n;j=1,...,n //(10)
d[i][j]<=d[i][k]+d[k][j] -->
| i=1,...,n;j=1,...,n;k=1,...,n;i<>j;i<>k;j<>k //(11)
where
m,n are integers
e are sets
bigM is a number
D[i][j] is a number | i=1,...,n;j=1,...,n;i<>j
d[i][j] is a variable of nonnegative number | i=1,...,n;j=1,...,n
data_relation
m=_$(e)/3
n=0
n=max(n,e[3k-2]) | k=1,...,m
n=max(n,e[3k-1]) | k=1,...,m
bigM=10000
D[i][i]=0 | i=1,...,n
D[i][j]=bigM | i=1,...,n;j=1,...,n;i<>j
D[e[3k-2]][e[3k-1]]=e[3k] | k=1,...,m
data
e={
1 2 12
1 3 16
1 4 7
1 5 21
2 6 5
3 6 6
3 7 3
4 7 5
5 9 15
5 13 11
6 8 4
7 8 9
7 9 27
8 10 24
8 12 9
9 11 23
9 14 5
10 11 8
11 14 16
12 9 10
12 10 14
13 9 6
13 14 12
}
在+Leapms環境中使用load, cplex命令(調用cplex求解器求解）求解過程如下（請展開查看）：
+Leapms>load
Current directory is "ROOT".
.........
ShortestPath1.leap
ShortestPath2.leap
ShortestPath3.leap
ShortestPath4.leap
.........
please input the filename:ShortestPath4
================================================================
1: maximize sum{i=1,...,n;j=1,...,n}d[i][j] //(9)
2: subject to
3: d[i][j]<=D[i][j] | i=1,...,n;j=1,...,n //(10)
4: d[i][j]<=d[i][k]+d[k][j] -->
5: | i=1,...,n;j=1,...,n;k=1,...,n;i<>j;i<>k;j<>k //(11)
6: where
7: m,n are integers
8: e are sets
9: bigM is a number
10: D[i][j] is a number | i=1,...,n;j=1,...,n;i<>j
11: d[i][j] is a variable of nonnegative number | i=1,...,n;j=1,...,n
12:
13: data_relation
14: m=_$(e)/3
15: n=0
16: n=max(n,e[3k-2]) | k=1,...,m
17: n=max(n,e[3k-1]) | k=1,...,m
18: bigM=10000
19: D[i][i]=0 | i=1,...,n
20: D[i][j]=bigM | i=1,...,n;j=1,...,n;i<>j
21: D[e[3k-2]][e[3k-1]]=e[3k] | k=1,...,m
22: data
23: e={
24: 1 2 12
25: 1 3 16
26: 1 4 7
27: 1 5 21
28: 2 6 5
29: 3 6 6
30: 3 7 3
31: 4 7 5
32: 5 9 15
33: 5 13 11
34: 6 8 4
35: 7 8 9
36: 7 9 27
37: 8 10 24
38: 8 12 9
39: 9 11 23
40: 9 14 5
41: 10 11 8
42: 11 14 16
43: 12 9 10
44: 12 10 14
45: 13 9 6
46: 13 14 12
47: }
================================================================
>>end of the file.
Parsing model:
1D
2R
3V
4O
5C
6S
7End.
..................................
number of variables=196
number of constraints=2380
..................................
+Leapms>cplex
You must have licience for Ilo Cplex, otherwise you will violate
corresponding copyrights, continue(Y/N)？
你必須有Ilo Cplex軟件的授權才能使用此功能，否則會侵犯相應版權，
是否繼續(Y/N)？y
+Leapms>
Tried aggregator 1 time.
LP Presolve eliminated 196 rows and 14 columns.
Reduced LP has 2184 rows, 182 columns, and 6552 nonzeros.
Presolve time = 0.02 sec. (1.03 ticks)
Iteration log . . .
Iteration: 1 Dual objective = 1580277.000000
Solution status = Optimal
Solution value = 1.14154e+006
d1_2=12
d1_3=16
d1_4=7
d1_5=21
d1_6=17
d1_7=12
d1_8=21
d1_9=36
d1_10=44
d1_11=52
d1_12=30
d1_13=32
d1_14=41
d2_1=10000
d2_3=10000
d2_4=10000
d2_5=10000
d2_6=5
d2_7=10000
d2_8=9
d2_9=28
d2_10=32
d2_11=40
d2_12=18
d2_13=10000
d2_14=33
d3_1=10000
d3_2=10000
d3_4=10000
d3_5=10000
d3_6=6
d3_7=3
d3_8=10
d3_9=29
d3_10=33
d3_11=41
d3_12=19
d3_13=10000
d3_14=34
d4_1=10000
d4_2=10000
d4_3=10000
d4_5=10000
d4_6=10000
d4_7=5
d4_8=14
d4_9=32
d4_10=37
d4_11=45
d4_12=23
d4_13=10000
d4_14=37
d5_1=10000
d5_2=10000
d5_3=10000
d5_4=10000
d5_6=10000
d5_7=10000
d5_8=10000
d5_9=15
d5_10=10000
d5_11=38
d5_12=10000
d5_13=11
d5_14=20
d6_1=10000
d6_2=10000
d6_3=10000
d6_4=10000
d6_5=10000
d6_7=10000
d6_8=4
d6_9=23
d6_10=27
d6_11=35
d6_12=13
d6_13=10000
d6_14=28
d7_1=10000
d7_2=10000
d7_3=10000
d7_4=10000
d7_5=10000
d7_6=10000
d7_8=9
d7_9=27
d7_10=32
d7_11=40
d7_12=18
d7_13=10000
d7_14=32
d8_1=10000
d8_2=10000
d8_3=10000
d8_4=10000
d8_5=10000
d8_6=10000
d8_7=10000
d8_9=19
d8_10=23
d8_11=31
d8_12=9
d8_13=10000
d8_14=24
d9_1=10000
d9_2=10000
d9_3=10000
d9_4=10000
d9_5=10000
d9_6=10000
d9_7=10000
d9_8=10000
d9_10=10000
d9_11=23
d9_12=10000
d9_13=10000
d9_14=5
d10_1=10000
d10_2=10000
d10_3=10000
d10_4=10000
d10_5=10000
d10_6=10000
d10_7=10000
d10_8=10000
d10_9=10000
d10_11=8
d10_12=10000
d10_13=10000
d10_14=24
d11_1=10000
d11_2=10000
d11_3=10000
d11_4=10000
d11_5=10000
d11_6=10000
d11_7=10000
d11_8=10000
d11_9=10000
d11_10=10000
d11_12=10000
d11_13=10000
d11_14=16
d12_1=10000
d12_2=10000
d12_3=10000
d12_4=10000
d12_5=10000
d12_6=10000
d12_7=10000
d12_8=10000
d12_9=10
d12_10=14
d12_11=22
d12_13=10000
d12_14=15
d13_1=10000
d13_2=10000
d13_3=10000
d13_4=10000
d13_5=10000
d13_6=10000
d13_7=10000
d13_8=10000
d13_9=6
d13_10=10000
d13_11=29
d13_12=10000
d13_14=11
d14_1=10000
d14_2=10000
d14_3=10000
d14_4=10000
d14_5=10000
d14_6=10000
d14_7=10000
d14_8=10000
d14_9=10000
d14_10=10000
d14_11=10000
d14_12=10000
d14_13=10000
模型中的bigM取為10000，結果中的d[*][*]=10000表示對應兩節點之間不存在路徑。
具體路徑通過d[*][*]數值反向推知。下圖是節點4到其他節點的最短路徑樹，通過d[4][*]反向推知。
