進制轉換（二進制轉十進制）

十進制數轉換為二進制數時，由於整數和小數的轉換方法不同，所以先將十進制數的整數部分和小數部分分別轉換后，再加以合並

二進制轉十進制

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要從右到左用二進制的每個數去乘以2的相應次方,小數點后則是從左往右

例如： 二進制數1101.01轉化成 十進制

1101.01（2）=1*2 0+0*21+1*22+1*23 +0*2-1+1*2-2=1+0+4+8+0+0.25=13.25（10）

所以總結起來通用公式為：

abcd.efg(2)=d*2 0+c*21+b*22+a*23+e*2-1+f*2-2+g*2-3（10）

或者用下面這種方法：

把二進制數首先寫成加權系數展開式，然后按十進制加法規則求和。這種做法稱為"按權相加"法。

2的0次方是1（任何數的0 次方都是1，0的0次方無意義）

2的1次方是2

2的2次方是4

2的3次方是8

2的4次方是16

2的5次方是32

2的6次方是64

2的7次方是128

2的8次方是256

2的9次方是512

2的10次方是1024

2的11次方是2048

2的12次方是4096

2的13 次方是8192

2的14次方是16384

2的15次方是32768

2的16次方是65536

2的17次方是131072

2的18次方是262144

2的19次方是524288

2的20次方是1048576

即：

此時，1101=8+4+0+1=13

再比如：二進制數100011轉成十進制數可以看作這樣：

數字中共有三個1 即第一位一個，第二位一個，第六位一個，然后對應十進制數即2的0次方+2的1次方+2的5次方， 即

100011=32+0+0+0+2+1=35

十進制轉二進制

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1. 十進制整數轉換為二進制整數

十進制整數轉換為二進制整數采用"除2取余，逆序排列"法。具體做法是：用2整除十進制整數，可以得到一個商和余數；再用2去除商，又會得到一個商和余數，如此進行，直到商為小於1時為止，然后把先得到的余數作為二進制數的低位有效位，后得到的余數作為二進制數的高位有效位，依次排列起來。

十進制整數轉二進制

如：255=（11111111）B

255/2=127=====余1

127/2=63======余1

63/2=31=======余1

31/2=15=======余1

15/2=7========余1

7/2=3=========余1

3/2=1=========余1

1/2=0=========余1

789=1100010101(B)

789/2=394 余1 第10位

394/2=197 余0 第9位

197/2=98 余1 第8位

98/2=49 余0 第7位

49/2=24 余1 第6位

24/2=12 余0 第5位

12/2=6 余0 第4位

6/2=3 余0 第3位

3/2=1 余1 第2位

1/2=0 余1 第1位

原理：

眾所周知，二進制的基數為2，我們十進制化二進制時所除的2就是它的基數。談到它的原理，就不得不說說關於位權的概念。某進制計數制中各位數字符號所表示的數值表示該數字符號值乘以一個與數字符號有關的常數，該常數稱為 “位權 ” 。位權的大小是以基數為底，數字符號所處的位置的序號為指數的整數次冪。十進制數的百位、十位、個位、十分位的權分別是10的2次方、10的1次方、10的0次方，10的-1次方。二進制數就是2的n次冪。

按權展開求和正是非十進制化十進制的方法。

下面我們開講原理，舉個十進制整數轉換為二進制整數的例子，假設十進制整數A化得的二進制數為edcba 的形式，那么用上面的方法按權展開， 得

A=a(2^0)+b(2^1)+c(2^2)+d(2^3)+e(2^4) （后面的和不正是化十進制的過程嗎）

假設該數未轉化為二進制,除以基數2得

A/2=a(2^0)/2+b(2^1)/2+c(2^2)/2+d(2^3)/2+e(2^4)/2

注意：a除不開二，余下了！其他的絕對能除開，因為他們都包含2，而a乘的是1，他本身絕對不包含因數2，只能余下。

商得：

b(2^0)+c(2^1)+d(2^2)+e(2^3)，再除以基數2余下了b，以此類推。

當這個數不能再被2除時，先余掉的a位數在原數低，而后來的余數數位高，所以要把所有的余數反過來寫。正好是edcba

2．十進制小數轉換為二進制小數

十進制小數轉換成 二進制小數采用"乘2取整，順序排列"法。具體做法是：用2乘十進制小數，可以得到積，將積的 整數部分取出，再用2乘余下的小數部分，又得到一個積，再將積的整數部分取出，如此進行，直到積中的小數部分為零，此時0或1為二進制的最后一位。或者達到所要求的精度為止。

然后把取出的整數部分按順序排列起來，先取的整數作為二進制小數的高位有效位，后取的整數作為低位有效位。

十進制小數轉二進制

如：0.625=（0.101）B

0.625*2=1.25======取出 整數部分1

0.25*2=0.5========取出整數部分0

0.5*2=1==========取出整數部分1

再如：0.7=（0.1 0110 0110...）B

0.7*2=1.4========取出整數部分1

0.4*2=0.8========取出整數部分0

0.8*2=1.6========取出整數部分1

0.6*2=1.2========取出整數部分1

0.2*2=0.4========取出整數部分0

0.4*2=0.8========取出整數部分0

0.8*2=1.6========取出整數部分1

0.6*2=1.2========取出整數部分1

0.2*2=0.4========取出整數部分0

原理：

關於十進制小數轉換為二進制小數

假設一十進制小數B化為了二進制小數0.ab的形式，同樣按權展開，得

B=a(2^-1)+b(2^-2)

因為小數部分的位權是負次冪，所以我們只能乘2，得

2B=a+b（2^-1)

注意a變成了整數部分，我們取整數正好是取到了a，剩下的小數部分也如此。

值得一提的是，小數部分的按權展開的數位順數正好和整數部分相反，所以不必反向取 余數了。