二叉搜索樹（$BST$）：一棵帶權二叉樹，滿足左子樹的權值均小於根節點的權值，右子樹的權值均大於根節點的權值。且左右子樹也分別是二叉搜索樹。（如下）
$BST$的作用：維護一個有序數列，支持插入$x$，刪除$x$，查詢排名為$x$的數，查詢$x$的排名，求$x$的前驅后繼等操作。
時間復雜度：$O(操作數\times 樹深度)$。
也就是插入一個有序序列時復雜度穩定在$O(N^2)$……
平衡樹：深度穩定在$O(log{節點數})$的$BST$。
使深度穩定的幾種方法：增加一個破壞單調性的第二權值（$Treap$），每插入一個數進行旋轉保持平衡（$Splay$），維護每個子樹的$size$並使左右子樹的$size$保持平衡（$SBT$）等。
本文主要給出$Treap$和$Splay$的實現方法。
$Treap$：顧名思義，該數據結構是$Tree$與$Heap$的結合體。
思想：在第一關鍵字滿足$BST$性質的同時，為每個節點隨機生成一個第二關鍵字，並通過旋轉使得第二關鍵字滿足堆性質。
旋轉：（網上講的很清楚了w）分為左右旋兩種，如圖（圖源網絡）：
例如：（圖源網絡，圖中點內是第一關鍵字【滿足$BST$】，點外是隨機生成的第二關鍵字【滿足堆】）
優點：常數小，實現簡單。
缺點：應用范圍較小，略有$0.001$%運氣因素（能隨機出來$10^5$個遞增的數就可以去買彩票了w）
代碼：
#include<algorithm> #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<ctime> using namespace std; #define MAXN 100005 #define MAXM 500005 #define INF 0x7fffffff #define ll long long struct Treap{ int l,r; //左兒子、右兒子 int num,rnd; //該節點的第一關鍵字（權值）、該節點的第二關鍵字 int cnt,siz; //該節點權值的出現次數、以該節點為根的子樹的大小 }tr[MAXN]; int tot,root; //當前節點數、當前根節點 inline int read(){ int x=0,f=1; char c=getchar(); for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1; for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0'; return x*f; } inline void update(int k){ tr[k].siz=tr[k].cnt; tr[k].siz+=tr[tr[k].l].siz; tr[k].siz+=tr[tr[k].r].siz; return; } inline void zig(int &k){ //將以k為根的子樹左旋（看圖） int tp=tr[k].r; tr[k].r=tr[tp].l; //將k的右兒子置為k的右兒子的左兒子 tr[tp].l=k; //將k的右兒子的左兒子置為k tr[tp].siz=tr[k].siz; //右兒子成為新的根，size等於k的size update(k); //更新k的size k=tp; //以k為根的子樹變為以k的右兒子為根的子樹，換根 return; } inline void zag(int &k){ //將以k為根的子樹右旋（同上） int tp=tr[k].l; tr[k].l=tr[tp].r; tr[tp].r=k; tr[tp].siz=tr[k].siz; update(k); k=tp;return; } inline void ins(int x,int &k){ //插入數x if(k==0){ //當前節點為空則在此處新建節點 k=++tot; tr[k].cnt=tr[k].siz=1; tr[k].rnd=rand(); tr[k].num=x; return; } tr[k].siz++; //插入的節點在該子樹內，size+1 if(x==tr[k].num) tr[k].cnt++; //如果該數已經出現過則不用新建節點，將該節點的cnt+1即可 else if(x<tr[k].num){ ins(x,tr[k].l); //x小於當前節點的關鍵字則插入當前節點的左子樹 if(tr[tr[k].l].rnd<tr[k].rnd) zag(k); //如果左兒子的第二關鍵字不滿足小根堆性質就把左兒子轉上來，容易證明此時一定滿足堆性質 } else{ ins(x,tr[k].r); //x大於當前節點的關鍵字則插入當前節點的右子樹 if(tr[tr[k].r].rnd<tr[k].rnd) zig(k); //同上 } return; } inline void del(int x,int &k){ //刪除數x if(k==0) return; //如果x沒出現則返回 if(x==tr[k].num){ if(tr[k].cnt>1) tr[k].cnt--,tr[k].siz--; //如果該節點出現次數>=1則不用移除節點，出現次數-1即可 else if(tr[k].l*tr[k].r==0) k=tr[k].l+tr[k].r; //如果該節點的兒子數<=1則可以直接刪除，即拿它的兒子代替它 else if(tr[tr[k].l].rnd<tr[tr[k].r].rnd) zag(k),del(x,k); else zig(k),del(x,k); //否則將該節點旋轉到可以直接刪除的位置再刪除 return; } tr[k].siz--; //刪除的節點在該子樹內，size-1 if(x<tr[k].num) del(x,tr[k].l); //x在當前節點的左子樹 else del(x,tr[k].r); //x在當前節點的右子樹 return; } inline int qrnk(int x,int k){ //查詢x數的排名（相當於查詢有多少個數小於x） if(k==0) return 0; if(x==tr[k].num) return tr[tr[k].l].siz+1; //找到了x，此時小於x的數的個數等於左子樹的大小，排名需要+1 else if(x<tr[k].num) return qrnk(x,tr[k].l); //x在當前節點的左子樹中，直接遞歸左子樹 else return qrnk(x,tr[k].r)+tr[tr[k].l].siz+tr[k].cnt; //x在當前節點的右子樹中，此時該節點及其左子樹的權值均小於x，需要將這部分size加入答案 } inline int qnum(int x,int k){ //查詢排名為x的數 if(k==0) return 0; if(tr[tr[k].l].siz<x && x<=tr[tr[k].l].siz+tr[k].cnt) return tr[k].num; //此時的排名正好確定在當前節點（大於等於當前節點的權值第一次出現的位置，小於等於該權值最后一次出現的位置），返回該節點的權值（第一關鍵字）即可 else if(tr[tr[k].l].siz>=x) return qnum(x,tr[k].l); // 排名為x的數在當前節點的左子樹中，直接遞歸 else return qnum(x-(tr[tr[k].l].siz+tr[k].cnt),tr[k].r); //排名為x的數在當前節點的右子樹中，此時該節點及其左子樹不影響右子樹中數的排名，需要減去這部分size } inline int qpre(int x,int k){ //查詢x數的前驅（最大的小於x的數） if(k==0) return -INF; if(x<=tr[k].num) return qpre(x,tr[k].l); //x在當前節點的左子樹中，此時該節點不影響答案，遞歸左子樹 else return max(qpre(x,tr[k].r),tr[k].num); //x在當前節點的右子樹中，此時該節點的權值小於等於x，又因為該節點的權值大於該節點左子樹中的所有權值，將答案與k取max即可 } inline int qnxt(int x,int k){ //查詢x數的后繼（最小的大於x的數），基本同上 if(k==0) return INF; if(x>=tr[k].num) return qnxt(x,tr[k].r); else return min(qnxt(x,tr[k].l),tr[k].num); } int main(){ srand(time(0)); int T=read(); while(T--){ int op=read(),x=read(); switch(op){ case 1:ins(x,root);break; case 2:del(x,root);break; case 3:printf("%d\n",qrnk(x,root));break; case 4:printf("%d\n",qnum(x,root));break; case 5:printf("%d\n",qpre(x,root));break; case 6:printf("%d\n",qnxt(x,root));break; } }return 0; }
$Splay$：又名旋轉樹，該數據結構通過巧妙的雙旋&單旋($splay$)使樹保持平衡。
基本思想：每次插入/查找一個節點時便將其旋轉到根，在旋轉過程中使樹“看起來”逐漸平衡。
旋轉：同上，雙旋時注意若三點一線則需要轉中間節點不然會失衡。（例如圖中$1,2,4$節點需要先轉$2$）
優點：使用范圍很廣，可以維護各種奇怪的區間操作。
缺點：實現復雜，常數較大，時間復雜度大概在$O(N\times log^2 N)$左右。嚴格證明我也不會
例題：同上。
代碼：（某同學沒有要求就不加注釋了，需要注釋可以@我w）
#include<algorithm> #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> using namespace std; #define MAXN 100005 #define MAXM 500005 #define INF 0x7fffffff #define ll long long struct node{ int v,f,siz,cnt,ch[2]; }tr[MAXN]; int rt,tot; inline int read(){ int x=0,f=1; char c=getchar(); for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1; for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0'; return x*f; } inline bool getf(int k){return tr[tr[k].f].ch[1]==k;} inline void update(int k){ tr[k].siz=tr[k].cnt; tr[k].siz+=tr[tr[k].ch[0]].siz; tr[k].siz+=tr[tr[k].ch[1]].siz; return; } inline void clear(int k){ tr[k].v=tr[k].f=0; tr[k].ch[0]=tr[k].ch[1]=0; tr[k].siz=tr[k].cnt=0; return; } inline void rotate(int k){ int f1=tr[k].f,f2=tr[f1].f;bool d=getf(k); tr[f1].ch[d]=tr[k].ch[d^1];tr[tr[k].ch[d^1]].f=f1; tr[k].ch[d^1]=f1;tr[f1].f=k;tr[k].f=f2; if(f2) tr[f2].ch[tr[f2].ch[1]==f1]=k; update(f1);update(k);return; } inline void splay(int k){ for(int fa;fa=tr[k].f;rotate(k)) if(tr[fa].f) rotate(getf(k)==getf(fa)?fa:k); rt=k;return; } inline int qrnk(int x){ int now=rt,ans=0; while(1){ if(x==tr[now].v){ ans+=tr[tr[now].ch[0]].siz+1; splay(now);return ans; } else if(x<tr[now].v) now=tr[now].ch[0]; else ans+=tr[tr[now].ch[0]].siz+tr[now].cnt,now=tr[now].ch[1]; } } inline int qnum(int x){ int now=rt; while(1){ if(tr[tr[now].ch[0]].siz<x && tr[tr[now].ch[0]].siz+tr[now].cnt>=x) return tr[now].v; else if(tr[tr[now].ch[0]].siz>=x) now=tr[now].ch[0]; else x-=tr[tr[now].ch[0]].siz+tr[now].cnt,now=tr[now].ch[1]; } } inline int qpre(){ int now=tr[rt].ch[0]; while(tr[now].ch[1]) now=tr[now].ch[1]; return now; } inline int qnxt(){ int now=tr[rt].ch[1]; while(tr[now].ch[0]) now=tr[now].ch[0]; return now; } inline void ins(int x){ if(!rt){ tr[++tot].v=x,tr[tot].f=0; tr[tot].ch[0]=tr[tot].ch[1]=0; tr[tot].siz=tr[tot].cnt=1; rt=tot;return; } int now=rt,fa=0; while(1){ if(x==tr[now].v){ tr[now].cnt++; update(now);update(fa); splay(now);break; } fa=now;now=tr[now].ch[x>tr[now].v]; if(!now){ tr[++tot].v=x,tr[tot].f=fa; tr[tot].ch[0]=tr[tot].ch[1]=0; tr[tot].siz=tr[tot].cnt=1; tr[fa].ch[x>tr[fa].v]=tot; update(fa);splay(tot); break; } } return; } inline void del(int x){ qrnk(x); if(tr[rt].cnt>1) tr[rt].cnt--,update(rt); else if(!tr[rt].ch[0] && !tr[rt].ch[1]) clear(x),rt=0; else if(!tr[rt].ch[0]){ int tp=rt;rt=tr[rt].ch[1]; tr[rt].f=0;clear(tp); } else if(!tr[rt].ch[1]){ int tp=rt;rt=tr[rt].ch[0]; tr[rt].f=0;clear(tp); } else{ int tp=rt;splay(qpre()); tr[rt].ch[1]=tr[tp].ch[1]; tr[tr[tp].ch[1]].f=rt; update(rt);clear(tp); } return; } int main(){ int T=read(); while(T--){ int opt=read(),x=read(); switch(opt){ case 1:ins(x);break; case 2:del(x);break; case 3:printf("%d\n",qrnk(x));break; case 4:printf("%d\n",qnum(x));break; case 5:ins(x);printf("%d\n",tr[qpre()].v);del(x);break; case 6:ins(x);printf("%d\n",tr[qnxt()].v);del(x);break; } } return 0; }