三大平衡樹（Treap + Splay + SBT）總結+模板［轉］

本文轉載自查看原文 2016-08-19 16:59 2057 ACM_SplayTree|SBT|Treap

Treap樹

　　核心是利用隨機數的二叉排序樹的各種操作復雜度平均為O(lgn)

Treap模板：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <utility>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)>(y)?(y):(x))
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MAXN 100005

using namespace std;

int cnt=1,rt=0; //節點編號從1開始

struct Tree
{
    int key, size, pri, son[2]; //保證父親的pri大於兒子的pri
    void set(int x, int y, int z)
    {
        key=x;
        pri=y;
        size=z;
        son[0]=son[1]=0;
    }
}T[MAXN];

void rotate(int p, int &x)
{
    int y=T[x].son[!p];
    T[x].size=T[x].size-T[y].size+T[T[y].son[p]].size;
    T[x].son[!p]=T[y].son[p];
    T[y].size=T[y].size-T[T[y].son[p]].size+T[x].size;
    T[y].son[p]=x;
    x=y;
}

void ins(int key, int &x)
{
    if(x == 0)
        T[x = cnt++].set(key, rand(), 1);
    else
    {
        T[x].size++;
        int p=key < T[x].key;
        ins(key, T[x].son[!p]);
        if(T[x].pri < T[T[x].son[!p]].pri)
            rotate(p, x);
    }
}

void del(int key, int &x) //刪除值為key的節點
{
    if(T[x].key == key)
    {
        if(T[x].son[0] && T[x].son[1])
        {
            int p=T[T[x].son[0]].pri > T[T[x].son[1]].pri;
            rotate(p, x);
            del(key, T[x].son[p]);
        }
        else
        {
            if(!T[x].son[0])
                x=T[x].son[1];
            else
                x=T[x].son[0];
        }
    }
    else
    {
        T[x].size--;
        int p=T[x].key > key;
        del(key, T[x].son[!p]);
    }
}

int find(int p, int &x) //找出第p小的節點的編號
{
    if(p == T[T[x].son[0]].size+1)
        return x;
    if(p > T[T[x].son[0]].size+1)
        find(p-T[T[x].son[0]].size-1, T[x].son[1]);
    else
        find(p, T[x].son[0]);
}

int find_NoLarger(int key, int &x) //找出值小於等於key的節點個數
{
    if(x == 0)
        return 0;
    if(T[x].key <= key)
        return T[T[x].son[0]].size+1+find_NoLarger(key, T[x].son[1]);
    else
        return find_NoLarger(key, T[x].son[0]);    
}

相關題解：

POJ 3481 treap

POJ 1442 treap

POJ 2352 treap

Splay Tree（伸展樹）

　　核心就是過程Splay(x, y)，即將x節點轉移到y節點的子節點上面（其中y是x的祖先）。

　　利用其中雙旋的優勢能夠保證查詢復雜度均攤為O(lgn)

　　一開始理解有些困難，其實實際上不做深入的理解就是，雙旋的過程就是一個建立相對平衡的二叉樹的一個過程。

　　》對於二叉樹，最極端的情況就是線性插入，使得整棵二叉樹退化為一條鏈。比如你查詢鏈的最后一個節點，之后再次查詢第一個節點。

　　　　1）若只是單旋通過Splay(x, 0)將最后一個節點移動到根節點，需要O(n)復雜度，而查詢第一個節點時又需要O(n)復雜度，來來往往就退化成一條鏈了。

　　　　2）若是雙旋Splay(x, 0)將最后一個節點移動到根節點上時，移動過程中建立起了相對平衡的二叉樹，需要O(n)，也就是查詢第一個節點時，大概是需要O(lgn)復雜度。這就降低了復雜度。可以證明，總的每個操作的均攤復雜度是O(lgn)。

　　　　具體證明可以參見楊思雨《伸展樹的基本操作與應用》

I 用於維護單調隊列：（以key為維護對象保證單調）

常用版：（支持相同值）

Struct Tree{

　　int key, size, fa, son[2];

}

void PushUp(int x);

void Rotate(int x, int p); //0左旋 1右旋

void Splay(int x, int To) //將x節點插入到To的子節點中

int find(int key) //返回值為key的節點若無返回0 若有將其轉移到根處

int prev() //返回比根值小的最大值若無返回0 若有將其轉移到根處

int succ() //返回比根值大的最小值若無返回0 若有將其轉移到根處

void Insert(int key) //插入key 並且將該節點轉移到根處

void Delete(int key) //刪除值為key的節點若有重點只刪其中一個 x的前驅移動到根處

int GetPth(int p) //獲得第p小的節點並將其轉移到根處

int GetRank(int key) //獲得值<=key的節點個數並將其轉移到根處若<key只需將<=換為<

模板：

int cnt=1, rt=0;

struct Tree
{
    int key, size, fa, son[2];
    void set(int _key, int _size, int _fa)
    {
        key=_key;
        size=_size;
        fa=_fa;
        son[0]=son[1]=0;
    }
}T[MAXN];

inline void PushUp(int x)
{
    T[x].size=T[T[x].son[0]].size+T[T[x].son[1]].size+1;
}

inline void Rotate(int x, int p) //0左旋 1右旋
{
    int y=T[x].fa;
    T[y].son[!p]=T[x].son[p];
    T[T[x].son[p]].fa=y;
    T[x].fa=T[y].fa;
    if(T[x].fa)
        T[T[x].fa].son[T[T[x].fa].son[1] == y]=x;
    T[x].son[p]=y;
    T[y].fa=x;
    PushUp(y);
    PushUp(x);
}

void Splay(int x, int To) //將x節點插入到To的子節點中
{
    while(T[x].fa != To)
    {
        if(T[T[x].fa].fa == To)
            Rotate(x, T[T[x].fa].son[0] == x);
        else
        {
            int y=T[x].fa, z=T[y].fa;
            int p=(T[z].son[0] == y);
            if(T[y].son[p] == x)
                Rotate(x, !p), Rotate(x, p); //之字旋
            else
                Rotate(y, p), Rotate(x, p); //一字旋
        }
    }
    if(To == 0) rt=x;
}

int find(int key) //返回值為key的節點 若無返回0 若有將其轉移到根處
{
    int x=rt;
    while(x && T[x].key != key)
        x=T[x].son[key > T[x].key];
    if(x) Splay(x, 0);
    return x;
}

int prev() //返回比根值小的最大值 若無返回0 若有將其轉移到根處
{
    int x=T[rt].son[0];
    if(!x) return 0;
    while(T[x].son[1])
        x=T[x].son[1];
    Splay(x, 0);
    return x;
}

int succ() //返回比根值大的最小值 若無返回0 若有將其轉移到根處
{
    int x=T[rt].son[1];
    if(!x) return 0;
    while(T[x].son[0])
        x=T[x].son[0];
    Splay(x, 0);
    return x;
}

void Insert(int key) //插入key 並且將該節點轉移到根處
{
    if(!rt)
        T[rt = cnt++].set(key, 1, 0);
    else
    {
        int x=rt, y=0;
        while(x)
        {
            y=x;
            x=T[x].son[key > T[x].key];
        }
        T[x = cnt++].set(key, 1, y);
        T[y].son[key > T[y].key]=x;
        Splay(x, 0);
    }
}

void Delete(int key) //刪除值為key的節點 若有重點只刪其中一個 x的前驅移動到根處
{
    int x=find(key);
    if(!x) return;
    int y=T[x].son[0];
    while(T[y].son[1])
        y=T[y].son[1];
    int z=T[x].son[1];
    while(T[z].son[0])
        z=T[z].son[0];
    if(!y && !z)
    {
        rt=0;
        return;
    }
    if(!y)
    {
        Splay(z, 0);
        T[z].son[0]=0;
        PushUp(z);
        return;
    }
    if(!z)
    {
        Splay(y, 0);
        T[y].son[1]=0;
        PushUp(y);
        return;
    }
    Splay(y, 0);
    Splay(z, y);
    T[z].son[0]=0;
    PushUp(z);
    PushUp(y);
}

int GetPth(int p) //獲得第p小的節點 並將其轉移到根處
{
    if(!rt) return 0;
    int x=rt, ret=0;
    while(x)
    {
        if(p == T[T[x].son[0]].size+1)
            break;
        if(p>T[T[x].son[0]].size+1)
        {
            p-=T[T[x].son[0]].size+1;
            x=T[x].son[1];
        }
        else
            x=T[x].son[0];
    }
    Splay(x, 0);
    return x;
}

int GetRank(int key) //獲得值<=key的節點個數 並將其轉移到根處 若<key只需將<=換為<
{
    if(!rt) return 0;
    int x=rt, ret=0, y;
    while(x)
    {
        y=x;
        if(T[x].key <= key)
        {
            ret+=T[T[x].son[0]].size+1;
            x=T[x].son[1];
        }
        else
            x=T[x].son[0];
    }
    Splay(y, 0);
    return ret;
}

View Code

完全版：（支持相同值，支持區間刪除，支持懶惰標記）

Struct Tree{

　　int key, num, size, fa, son[2];

}

void PushUp(int x);

void PushDown(int x);

int Newnode(int key, int fa); //新建一個節點並返回

void Rotate(int x, int p); //0左旋 1右旋

void Splay(int x, int To); //將x節點移動到To的子節點中

int GetPth(int p, int To); //返回第p小的節點並移動到To的子節點中

int Find(int key); //返回值為key的節點若無返回0 若有將其轉移到根處

int Prev(); //返回根節點的前驅

int Succ(); //返回根結點的后繼

void Insert(int key); //插入key值

void Delete(int key); //刪除值為key的節點

int GetRank(int key); //獲得值<=key的節點個數

void Delete(int l, int r); //刪除值在[l, r]中的節點

模板：

int cnt, rt;
int Add[MAXN];

struct Tree{
    int key, num, size, fa, son[2];
}T[MAXN];

inline void PushUp(int x)
{
    T[x].size=T[T[x].son[0]].size+T[T[x].son[1]].size+T[x].num;
}

inline void PushDown(int x)
{
    if(Add[x])
    {
        if(T[x].son[0])
        {
            T[T[x].son[0]].key+=Add[x];
            Add[T[x].son[0]]+=Add[x];
        }
        if(T[x].son[1])
        {
            T[T[x].son[1]].key+=Add[x];
            Add[T[x].son[1]]+=Add[x];
        }
        Add[x]=0;
    }
}

inline int Newnode(int key, int fa) //新建一個節點並返回
{
    ++cnt;
    T[cnt].key=key;
    T[cnt].num=T[cnt].size=1;
    T[cnt].fa=fa;
    T[cnt].son[0]=T[cnt].son[1]=0;
    return cnt;
}

inline void Rotate(int x, int p) //0左旋 1右旋
{
    int y=T[x].fa;
    PushDown(y);
    PushDown(x);
    T[y].son[!p]=T[x].son[p];
    T[T[x].son[p]].fa=y;
    T[x].fa=T[y].fa;
    if(T[x].fa)
        T[T[x].fa].son[T[T[x].fa].son[1] == y]=x;
    T[x].son[p]=y;
    T[y].fa=x;
    PushUp(y);
    PushUp(x);
}

void Splay(int x, int To) //將x節點移動到To的子節點中
{
    while(T[x].fa != To)
    {
        if(T[T[x].fa].fa == To)
            Rotate(x, T[T[x].fa].son[0] == x);
        else
        {
            int y=T[x].fa, z=T[y].fa;
            int p=(T[z].son[0] == y);
            if(T[y].son[p] == x)
                Rotate(x, !p), Rotate(x, p); //之字旋
            else
                Rotate(y, p), Rotate(x, p); //一字旋
        }
    }
    if(To == 0) rt=x;
}

int GetPth(int p, int To) //返回第p小的節點 並移動到To的子節點中
{
    if(!rt || p > T[rt].size) return 0;
    int x=rt;
    while(x)
    {
        PushDown(x);
        if(p >= T[T[x].son[0]].size+1 && p <= T[T[x].son[0]].size+T[x].num)
            break;
        if(p > T[T[x].son[0]].size+T[x].num)
        {
            p-=T[T[x].son[0]].size+T[x].num;
            x=T[x].son[1];
        }
        else
            x=T[x].son[0];
    }
    Splay(x, 0);
    return x;
}

int Find(int key) //返回值為key的節點 若無返回0 若有將其轉移到根處
{
    if(!rt) return 0;
    int x=rt;
    while(x)
    {
        PushDown(x);
        if(T[x].key == key) break;
        x=T[x].son[key > T[x].key];
    }
    if(x) Splay(x, 0);
    return x;
}

int Prev() //返回根節點的前驅 非重點
{
    if(!rt || !T[rt].son[0]) return 0;
    int x=T[rt].son[0];
    while(T[x].son[1])
    {
        PushDown(x);
        x=T[x].son[1];
    }
    Splay(x, 0);
    return x;
}

int Succ() //返回根結點的后繼 非重點
{
    if(!rt || !T[rt].son[1]) return 0;
    int x=T[rt].son[1];
    while(T[x].son[0])
    {
        PushDown(x);
        x=T[x].son[0];
    }
    Splay(x, 0);
    return x;
}

void Insert(int key) //插入key值
{
    if(!rt)
        rt=Newnode(key, 0);
    else
    {
        int x=rt, y=0;
        while(x)
        {
            PushDown(x);
            y=x;
            if(T[x].key == key)
            {
                T[x].num++;
                T[x].size++;
                break;
            }
            T[x].size++;
            x=T[x].son[key > T[x].key];
        }
        if(!x)
            x=T[y].son[key > T[y].key]=Newnode(key, y);
        Splay(x, 0);
    }
}

void Delete(int key) //刪除值為key的節點1個
{
    int x=Find(key);
    if(!x) return;
    if(T[x].num>1)
    {
        T[x].num--;
        PushUp(x);
        return;
    }
    int y=T[x].son[0];
    while(T[y].son[1])
        y=T[y].son[1];
    int z=T[x].son[1];
    while(T[z].son[0])
        z=T[z].son[0];
    if(!y && !z)
    {
        rt=0;
        return;
    }
    if(!y)
    {
        Splay(z, 0);
        T[z].son[0]=0;
        PushUp(z);
        return;
    }
    if(!z)
    {
        Splay(y, 0);
        T[y].son[1]=0;
        PushUp(y);
        return;
    }
    Splay(y, 0);
    Splay(z, y);
    T[z].son[0]=0;
    PushUp(z);
    PushUp(y);
}

int GetRank(int key) //獲得值<=key的節點個數
{
    if(!Find(key))
    {
        Insert(key);
        int tmp=T[T[rt].son[0]].size;
        Delete(key);
        return tmp;
    }
    else
        return T[T[rt].son[0]].size+T[rt].num;
}

void Delete(int l, int r) //刪除值在[l, r]中的所有節點 l!=r
{
    if(!Find(l)) Insert(l);
    int p=Prev();
    if(!Find(r)) Insert(r);
    int q=Succ();
    if(!p && !q)
    {
        rt=0;
        return;
    }
    if(!p)
    {
        T[rt].son[0]=0;
        PushUp(rt);
        return;
    }
    if(!q)
    {
        Splay(p, 0);
        T[rt].son[1]=0;
        PushUp(rt);
        return;
    }
    Splay(p, q);
    T[p].son[1]=0;
    PushUp(p);
    PushUp(q);
}

View Code

(經測NOI2004郁悶的出納員 POJ3481 POJ2352 POJ1442)

速度相對來說都還不錯，POJ這些都3~500ms，郁悶的出納員900多ms

相關題解：

II 用於維護序列：（以序列下標為對象維護，相當於對區間操作）（能夠完成線段樹的操作及其不能完成的操作）

Struct Tree{

　　int key, sum, size, fa, son[2];

}

支持操作：

void PushUp(int x);

void PushDown(int x);

int MakeTree(int l, int r, int a[]); //新建一個子樹返回根節點

void Rotate(int x, int p); //0左旋 1右旋

void Splay(int x, int To); //將x節點移動到To的子節點中

int Select(int p, int To); //將第p個數移動到To的子節點中並返回該節點

int Find(int key); //返回值為key的節點若無返回0 若有將其轉移到根處

int Prev(); //返回根節點的前驅

int Succ(); //返回根結點的后繼

void Insert(int p, int l, int r, int a[]) //將a[l .. r]的數插入到下標為p后面

void Delete(int l, int r); //刪除區間[l, r]中的節點

int Query(int l, int r); //返回[l, r]的和

待補充。。

Size Balance Tree

　　和上述兩種二叉樹比起來，SBT可能是最像真正平衡二叉樹吧。

　　SBT能夠保證樹的高度在lgn，這樣對於插入，刪除操作都能夠准確保證時間復雜度在O(lgn)

　　Maintain操作事實上理解起來也是挺簡單的，至於證明參見CQF神牛的《SBT》

int cnt, rt;

struct Tree
{
    int key, size, son[2];
}T[MAXN];

inline void PushUp(int x)
{
    T[x].size=T[T[x].son[0]].size+T[T[x].son[1]].size+1;
}

inline int Newnode(int key)
{
    ++cnt;
    T[cnt].key=key;
    T[cnt].size=1;
    T[cnt].son[0]=T[cnt].son[1]=0;
    return cnt;
}

void Rotate(int p, int &x)
{
    int y=T[x].son[!p];
    T[x].son[!p]=T[y].son[p];
    T[y].son[p]=x;
    PushUp(x);
    PushUp(y);
    x=y;
}

void Maintain(int &x, int p) //維護SBT的!p子樹
{
    if(T[T[T[x].son[p]].son[p]].size > T[T[x].son[!p]].size)
        Rotate(!p, x);
    else if(T[T[T[x].son[p]].son[!p]].size > T[T[x].son[!p]].size)
        Rotate(p, T[x].son[p]), Rotate(!p, x);
    else return;
    Maintain(T[x].son[0], 0);
    Maintain(T[x].son[1], 1);
    Maintain(x, 0);
    Maintain(x, 1);
}

inline int Prev() //返回比根值小的最大值 若無返回0
{
    int x=T[rt].son[0];
    if(!x) return 0;
    while(T[x].son[1])
        x=T[x].son[1];
    return x;
}

inline int Succ() //返回比根值大的最小值 若無返回0
{
    int x=T[rt].son[1];
    if(!x) return 0;
    while(T[x].son[0])
        x=T[x].son[0];
    return x;
}

void Insert(int key, int &x)
{
    if(!x) x=Newnode(key);
    else
    {
        T[x].size++;
        Insert(key, T[x].son[key > T[x].key]);
        Maintain(x, key > T[x].key);
    }
}

bool Delete(int key, int &x) //刪除值為key的節點 key可以不存在
{
    if(!x) return 0;
    if(T[x].key == key)
    {
        if(!T[x].son[0])
        {
            x=T[x].son[1];
            return 1;
        }
        if(!T[x].son[1])
        {
            x=T[x].son[0];
            return 1;
        }
        int y=Prev();
        T[x].size--;
        return Delete(T[x].key, T[x].son[0]);
    }
    else
        if(Delete(key, T[x].son[key > T[x].key]))
        {
            T[x].size--;
            return 1;
        }
}

int GetPth(int p, int &x) //返回第p小的節點
{
    if(!x) return 0;
    if(p == T[T[x].son[0]].size+1)
        return x;
    if(p > T[T[x].son[0]].size+1)
        return GetPth(p-T[T[x].son[0]].size-1, T[x].son[1]);
    else
        return GetPth(p, T[x].son[0]);
}

int GetRank(int key, int &x) //找出值<=key的節點個數
{
    if(!x) return 0;
    if(T[x].key <= key)
        return T[T[x].son[0]].size+1+GetRank(key, T[x].son[1]);
    else
        return GetRank(key, T[x].son[0]);
}

相關題解：

POJ 3481 SBT做法

上述題均為用於測試平衡樹基本操作的題目。

提高題：（暫時未寫）

[NOI2005]維修數列

[POJ3580]SuperMemo

[HNOI2004]寵物收養所

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